Ouestão 13. Calcule as constantes a, b, c e d de modo que:
lim x +infty f(x)=3 e lim x -2 f(x)=1, sendo f(x)=a x^3+b x^2+c x+d4 x^2+4 x-8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar constantes a,b,c,d tais que
limxto+inftyf(x)=3 e limxto-2f(x)=1, onde
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d4 x^2+4 x-8
Aqui vamos usar dois conceitos de limite em função racional: o limite no infinito (razoes de coeficientes) e o limite em ponto de cancelamento (forma 0/0 removível).

Passo 2

Para ter limxto+inftyf(x)=3 precisamos que o grau do numerador seja no máximo o do denominador. Como o denominador é grau 2, exigimos a=0, reduzindo o numerador a b x^2 + c x + d. Em seguida, o limite no infinito é a razão dos coeficientes dos termos de grau 2:
b4=3 Longrightarrow b=12

Passo 3

No ponto x=-2 o denominador anula-se:
4(-2)^2+4(-2)-8 =16-8-8=0,
portanto para o limite ser finito deve haver cancelamento, isto é, o numerador também deve zerar em x=-2. Com b=12:
12cdot(-2)^2 + c(-2) + d =48 -2c + d =0 Longrightarrow -2c + d = -48

Passo 4

Em x=-2 temos forma 0/0. O limite removível é
limxto-2f(x) =P'(-2)Q'(-2),
onde P(x)=12x^2+cx+d e Q(x)=4x^2+4x-8. Calculamos
P'(x)=24x+c, Q'(x)=8x+4,
logo em x=-2:
P'(-2)=-48+c, Q'(-2)=-16+4=-12
Queremos P'(-2)Q'(-2)=1, isto é,
-48+c-12=1 Longrightarrow -48+c=-12 Longrightarrow c=36

Passo 5

Substituindo c=36 na equação -2c + d = -48, vem
-2cdot36 + d = -48 Longrightarrow -72 + d = -48 Longrightarrow d = 24

Resposta

a=0, b=12, c=36, d=24.

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