1.19 Mostre que a, b, e c são LI se, e somente se, a equação vetorial x a+y b+z c=0 admite apenas a solução nula x=0, y=0 e z=0.

Passo 1

O enunciado trata de independência linear de três vetores a,b,c. Por definição, esses vetores são LI se a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear deles
x,a+y,b+z,c=0
é tomando x=0, y=0 e z=0. Vamos mostrar que essa definição é equivalente à afirmação do enunciado.

Passo 2

( Rightarrow) Suponha que a,b,c sejam LI. Então, por definição de independência linear, qualquer combinação
x,a+y,b+z,c=0
implica imediatamente que os coeficientes devem ser nulos, isto é,
x=0, y=0, z=0

Passo 3

( Leftarrow) Agora suponha que toda solução da equação vetorial
x,a+y,b+z,c=0
seja a solução trivial x=0, y=0, z=0. Isso significa justamente que não existe nenhuma combinação linear não trivial igual a 0. Mas essa é exatamente a definição de que a,b,c são LI.

Resposta

Logo, a,b,c são linearmente independentes se, e somente se, a única solução de
x,a+y,b+z,c=0
for x=y=z=0.

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