1.19 Mostre que
, e
são LI se, e somente se, a equação vetorial
admite apenas a solução nula
e
.
Passo 1
O enunciado trata de independência linear de três vetores
. Por definição, esses vetores são LI se a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear deles
é tomando
,
e
. Vamos mostrar que essa definição é equivalente à afirmação do enunciado.
Passo 2
(
) Suponha que
sejam LI. Então, por definição de independência linear, qualquer combinação
implica imediatamente que os coeficientes devem ser nulos, isto é,
Passo 3
(
) Agora suponha que toda solução da equação vetorial
seja a solução trivial
,
,
. Isso significa justamente que não existe nenhuma combinação linear não trivial igual a
. Mas essa é exatamente a definição de que
são LI.
Resposta
Logo,
são linearmente independentes se, e somente se, a única solução de
for
.