Q 17 Calcule os limites, envolvendo conjugado de radicais e indeterminação 0 / 0.
lim x 2 raiz5 x-1-3raizx+2-2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto 2raiz5x-1-3raizx+2-2
que é uma indeterminação do tipo tfrac00. O conteúdo usado será racionalização de expressões com raízes (conjugado de radicais) para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Primeiro, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, raiz5x-1+3:
raiz5x-1-3raizx+2-2;cdot;raiz5x-1+3raiz5x-1+3 =(raiz5x-1)^2-3^2(raizx+2-2),(raiz5x-1+3) =5x-1-9(raizx+2-2),(raiz5x-1+3) =5(x-2)(raizx+2-2),(raiz5x-1+3)

Passo 3

Agora temos
5(x-2)(raizx+2-2),(raiz5x-1+3)
Para eliminar o fator (x-2) do denominador, multiplicamos por mais um conjugado, agora de raizx+2-2, que é raizx+2+2:

Passo 4

5(x-2)(raizx+2-2),(raiz5x-1+3) ;cdot; raizx+2+2raizx+2+2 = 5(x-2)(raizx+2+2)(x+2)-4,1raiz5x-1+3 = 5(x-2)(raizx+2+2)(x-2),(raiz5x-1+3) = 5(raizx+2+2)raiz5x-1+3

Passo 5

Agora que cancelamos (x-2), podemos aplicar x=2 diretamente:
limxto 25(raizx+2+2)raiz5x-1+3 =5(raiz4+2)raiz9+3 =5(2+2)3+3 =206 =103

Resposta

103

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