Determine uma parametrização para as seguintes superfícies:
A parte do plano x+y+z=1, dentro do cilindro x^2+y^2=1;

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do plano x+y+z=1 que fica dentro do cilindro x^2+y^2=1. O conteúdo aqui é parametrização de superfícies planas limitadas por uma curva projetada no plano xy. Vamos usar coordenadas polares para descrever a região projetada.

Passo 2

Parametrizamos a projeção no plano xy por
x = rcostheta, y = rsintheta,
com 0 <= r <= 1 e 0 <= theta < 2pi, pois isso cobre o disco de raio 1.

Passo 3

Na parametrização, a coordenada z vem da equação do plano x+y+z=1, ou seja,
z = 1 - x - y = 1 - rl(costheta + sinthetar)

Passo 4

Assim, definimos a parametrização r(r,theta) por
r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;1 - r(costheta + sintheta)r),
com domínio
0 <= r <= 1, 0 <= theta < 2pi

Resposta

r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;1 - r(costheta + sintheta)r), 0 <= r <= 1,;0 <= theta < 2pi

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