(1 Ponto) a) Sejam A: R^n L(R^n, R^n), f: R^n R^n e g: R^n R^n funções diferenciáveis. Definamos F: R^n times R^n times R^n R por F(x, y, z)=lang<= A(x)(f(y)), g(z)rang<=. ^1 Seja (u, v, w) in R^n times R^n times R^n. Calcule
d F(x, y, z)(u, v, w)
(1 Ponto) b) Seja f: R^m R^n uma função de classe C^1 e F: R^m R dada por F(x)=|f(x)|^2. Calcule d F(x)(h), em que h in R^m. Mostre que se d F(x)=0 e f(x) neq 0, então d f(x): R^m R^n não é sobrejetora.
(0,5 Ponto) c) Seja f: R^m R^n uma função de classe C^1 e F: R^m R dada por F(x)=|f(x)|^2. Mostre que se c in R^n é um valor regular de f, f^-1(c) neq emptyset e |c|^2 é o menor valor que F assume, então c=0.

Passo 1

O enunciado tem três itens envolvendo diferenciação de funções vetoriais e produtos internos. No item (a) definimos
F(x,y,z)=lang<= A(x)l(f(y)r),,g(z)rang<=,
onde A(x) é uma aplicação linear em R^n, e queremos o diferencial direcional de F em (x,y,z) na direção (u,v,w). Isto exige aplicar a regra da cadeia e a bilinearidade do produto interno.
Nos itens (b) e (c) consideramos F(x)=|f(x)|^2. Em (b) calculamos dF(x)(h) e mostramos que, se dF(x)=0 e f(x)neq0, então df(x) não pode ser sobrejetora (porque sua imagem ficaria contida no ortogonal de f(x)). Em (c) usamos essa conclusão para ver que, se cneq0 fosse valor regular de f e |c|^2 fosse mínimo de F, teríamos contradição, forçando c=0.

Passo 2

Vamos a (a). Primeiro note que F é composta de três funções: xmapsto A(x), ymapsto f(y), zmapsto g(z), e do produto interno bilinear. Aplicando a regra da cadeia e a bilinearidade, obtemos
dF(x,y,z)(u,v,w) =llang<= dl(A(x)f(y)r)(u,v),,g(z)rrang<= +llang<= A(x)f(y),,dg(z)(w)rrang<=
Agora, para o termo dl(A(x)f(y)r)(u,v), usamos que xmapsto A(x) é diferenciável em x e ymapsto f(y) em y, de modo que
dl(A(x)f(y)r)(u,v) =l(dA(x)(u)r)l(f(y)r) + A(x)l(df(y)(v)r)
Logo, juntando tudo,
boxed% dF(x,y,z)(u,v,w) =llang<= dA(x)(u)l(f(y)r),,g(z)rrang<= +llang<= A(x)l(df(y)(v)r),,g(z)rrang<= +llang<= A(x)l(f(y)r),,dg(z)(w)rrang<=

Passo 3

Agora o item (b). Definimos F(x)=|f(x)|^2=lang<= f(x),f(x)rang<=. Usando a regra da cadeia e a bilinearidade do produto interno,
dF(x)(h) =llang<= df(x)(h),,f(x)rrang<= +llang<= f(x),,df(x)(h)rrang<= =2,llang<= f(x),,df(x)(h)rrang<=
Se dF(x)=0 como funcional, então
llang<= f(x),,df(x)(h)rrang<==0 forall hinR^m
Isto significa que Im,df(x)subsetvinR^n:lang<= f(x),vrang<==0, um subespaço próprio de R^n quando f(x)neq0. Logo df(x) não pode ser sobrejetora.

Passo 4

Finalmente o item (c). Suponha que cinR^n seja valor regular de f (ou seja, df(x) é sobrejetora para todo xin f^-1(c)) e que |c|^2 é o menor valor de F. Então existe x tal que f(x)=c e F atinge mínimo em x, logo dF(x)=0. Se cneq0, teríamos f(x)=cneq0 e por (b) df(x) não seria sobrejetora, contradizendo a hipótese de valor regular. Portanto necessariamente c=0.

Resposta

a)
dF(x,y,z)(u,v,w) =llang<= dA(x)(u),f(y),,g(z)rrang<= +llang<= A(x),df(y)(v),,g(z)rrang<= +llang<= A(x),f(y),,dg(z)(w)rrang<=
b)
dF(x)(h)=2llang<= f(x),,df(x)(h)rrang<=,
e se dF(x)=0 com f(x)neq0, então Im,df(x)subset f(x)^perp, logo df(x) não é sobrejetora.
c)
Para F(x)=|f(x)|^2, se c é valor regular de f, f^-1(c)neqemptyset e |c|^2 é mínimo de F, então em x tal que f(x)=c teríamos dF(x)=0 e cneq0, forçando df(x) não sobrejetora, contradizendo a regularidade. Assim c=0.

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