(1 Ponto) a) Sejam
e
funções diferenciáveis. Definamos
por
.
Seja
. Calcule
(1 Ponto) b) Seja
uma função de classe
e
dada por
. Calcule
, em que
. Mostre que se
e
, então
não é sobrejetora.
(0,5 Ponto) c) Seja
uma função de classe
e
dada por
. Mostre que se
é um valor regular de
e
é o menor valor que
assume, então
.
(0,5 Ponto) c) Seja
Passo 1
O enunciado tem três itens envolvendo diferenciação de funções vetoriais e produtos internos. No item (a) definimos
onde
é uma aplicação linear em
, e queremos o diferencial direcional de
em
na direção
. Isto exige aplicar a regra da cadeia e a bilinearidade do produto interno.
Nos itens (b) e (c) consideramos . Em (b) calculamos
e mostramos que, se
e
, então
não pode ser sobrejetora (porque sua imagem ficaria contida no ortogonal de
). Em (c) usamos essa conclusão para ver que, se
fosse valor regular de
e
fosse mínimo de
, teríamos contradição, forçando
.
Nos itens (b) e (c) consideramos
Passo 2
Vamos a (a). Primeiro note que
é composta de três funções:
,
,
, e do produto interno bilinear. Aplicando a regra da cadeia e a bilinearidade, obtemos
Agora, para o termo
, usamos que
é diferenciável em
e
em
, de modo que
Logo, juntando tudo,
Passo 3
Agora o item (b). Definimos
. Usando a regra da cadeia e a bilinearidade do produto interno,
Se
como funcional, então
Isto significa que
, um subespaço próprio de
quando
. Logo
não pode ser sobrejetora.
Passo 4
Finalmente o item (c). Suponha que
seja valor regular de
(ou seja,
é sobrejetora para todo
) e que
é o menor valor de
. Então existe
tal que
e
atinge mínimo em
, logo
. Se
, teríamos
e por (b)
não seria sobrejetora, contradizendo a hipótese de valor regular. Portanto necessariamente
.
Resposta
a)
b)
e se
com
, então
, logo
não é sobrejetora.
c)
Para , se
é valor regular de
,
e
é mínimo de
, então em
tal que
teríamos
e
, forçando
não sobrejetora, contradizendo a regularidade. Assim
.
c)
Para