(1,5 Ponto) a) Mostre que se Omega é um convexo, então |f(x)-f(y)| <= M|x-y|, para todo x, y in Omega, se, e somente se, |d f(x)| <= M, para todo x in Omega.
(1 Ponto) b) Mostre que se |f(x)-f(y)| <= M|x-y|^2, para todo x, y in Omega, então f é uma constante.

Passo 1

O enunciado trata de uma função diferenciável fcolon OmegasubsetR^ntoR^m definida num conjunto convexo Omega.
a) Queremos mostrar que
|f(x)-f(y)|<= M|x-y|forall x,yinOmega
se, e somente se,
|df(x)|<= Mforall xinOmega
b) Queremos mostrar que, se
|f(x)-f(y)|<= M|x-y|^2forall x,yinOmega,
então f é constante em Omega.
Vamos usar o conceito de derivada total, desigualdade do integral de linha em conjuntos convexos e a definição de norma de operador linear.

Passo 2

(Prova de “ Rightarrow”, parte a) )
Suponha |f(x)-f(y)|<= M|x-y| para todo x,y. Para um ponto fixo xinOmega e um vetor h suficientemente pequeno, pela definição de derivada total,
df(x)[h] =limtto0f(x+th)-f(x)t
Tomando norma e usando a hipótese com y=x+th,
|df(x)[h]| =limtto0|f(x+th)-f(x)||t| <=limtto0M|th||t| = M|h|
Isso vale para todo h, logo |df(x)|<= M.

Passo 3

(Prova de “ Leftarrow”, parte a) )
Suponha agora |df(x)|<= M para todo x. Como Omega é convexo, o segmento x+t(y-x), tin[0,1], fica em Omega. Pela fórmula do integral de linha (ou Teorema do Valor Médio integral),
f(y)-f(x) =integral0^1dfl(x+t(y-x)r)l[y-xr],dt
Aplicando norma e a hipótese |df(cdot)|<= M,
|f(y)-f(x)| <=integral0^1l|df(x+t(y-x))r|;|y-x|;dt <=integral0^1M|y-x|,dt = M|y-x|
Isso conclui a equivalência desejada em (a).

Passo 4

(Parte b)
Agora suponha |f(x)-f(y)|<= M|x-y|^2. Pelo mesmo raciocínio do Passo 2, para h pequeno,
|df(x)[h]| =limtto0|f(x+th)-f(x)||t| <=limtto0M|th|^2|t| =limtto0M,|t|,|h|^2 =0
Logo df(x)=0 para todo xinOmega.

Passo 5

Como a derivada total de f é zero em todo ponto de Omega e Omega é convexo (portanto conexo), segue que f é constante em Omega.

Resposta

a) Em um conjunto convexo, |f(x)-f(y)|<= M|x-y| se, e somente se, |df(x)|<= M para todo xinOmega.
b) Se |f(x)-f(y)|<= M|x-y|^2 para todo x,y, então f é constante.

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