(1,5 Ponto) a) Mostre que se é um convexo, então , para todo , se, e somente se, , para todo .
(1 Ponto) b) Mostre que se , para todo , então é uma constante.
Passo 1
O enunciado trata de uma função diferenciável definida num conjunto convexo .
a) Queremos mostrar que
se, e somente se,
b) Queremos mostrar que, se
então é constante em .
Vamos usar o conceito de derivada total, desigualdade do integral de linha em conjuntos convexos e a definição de norma de operador linear.
Passo 2
(Prova de “”, parte a) )
Suponha para todo . Para um ponto fixo e um vetor suficientemente pequeno, pela definição de derivada total,
Tomando norma e usando a hipótese com ,
Isso vale para todo , logo .
Passo 3
(Prova de “”, parte a) )
Suponha agora para todo . Como é convexo, o segmento , , fica em . Pela fórmula do integral de linha (ou Teorema do Valor Médio integral),
Aplicando norma e a hipótese ,
Isso conclui a equivalência desejada em (a).
Passo 4
(Parte b)
Agora suponha |f(x)-f(y)|<= M|x-y|^2. Pelo mesmo raciocínio do Passo 2, para h pequeno,
Como a derivada total de f é zero em todo ponto de Omega e Omega é convexo (portanto conexo), segue que f é constante em Omega.
Resposta
a) Em um conjunto convexo, |f(x)-f(y)|<= M|x-y| se, e somente se, |df(x)|<= M para todo xinOmega.
b) Se |f(x)-f(y)|<= M|x-y|^2 para todo x,y, então f é constante.