17.2 O campo elétrico (em unidades SI) de uma onda eletromagnética é
E_{y}=300 \operatorname{sen}\left(1,00 \times 10^{7} x-\omega t\right)
Encontre (a) a amplitude das oscilações do campo magnético correspondente, (b) o comprimento de onda \lambda \mathrm{e} (c) a frequência f.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda eletromagnética (unidades SI) como
E_{y}=300\;\operatorname{sen}\!\left(1,00\times10^{7}\,x-\omega t\right).
O que nos pedem:
  • (a) a amplitude das oscilações do campo magnético correspondente;
  • (b) o comprimento de onda \lambda;
  • (c) a frequência f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude do campo elétrico é \;E_{0}=300\; (unidades SI: volts por metro, isto é, \mathrm{V/m}).
  • O número de onda angular (ou constante de onda) é \;k=1,00\times10^{7}\; (unidades: \mathrm{rad/m}), pois o argumento é k x-\omega t.
  • A velocidade da luz no vácuo vale aproximadamente \;c=3,00\times10^{8}\;\mathrm{m/s} (vamos usar esse valor para cálculos numéricos).
  • Não foi dado \omega explicitamente, mas temos a relação entre \omega, k e c para ondas eletromagnéticas no vácuo.

Passo 2

Entendendo a relação entre \mathbf{E} e \mathbf{B} numa onda eletromagnética no vácuo (aula rápida, sem medo):
  • Numa onda plana eletromagnética no vácuo os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção de propagação, e as amplitudes estão relacionadas por
E_{0}=c\,B_{0},
onde:
  • \;E_{0} é a amplitude do campo elétrico (em \mathrm{V/m}),
  • \;B_{0} é a amplitude do campo magnético (em tesla, \mathrm{T}),
  • \;c é a velocidade da luz (em \mathrm{m/s}).
Essa relação vem da solução das equações de Maxwell para ondas no vácuo e costuma ser usada direto na prova: o campo elétrico é maior numericamente que o magnético por um fator c. Portanto para achar B_{0} isolamos:
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}.

Passo 3

Aplicando a fórmula para achar a amplitude do campo magnético (substituindo os valores):
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}=\frac{300}{3,00\times10^{8}}.
Agora fazemos a divisão passo a passo:
  • 300 = 3,00\times10^{2}.
  • Dividindo as potências: \dfrac{3,00\times10^{2}}{3,00\times10^{8}} = \dfrac{3,00}{3,00}\times10^{2-8}=1,00\times10^{-6}.
Logo
B_{0}=1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Interpretação: a amplitude do campo magnético é muito pequena em tesla, o que é normal — a parte elétrica costuma ser mais numericamente alta porque c é grande.

Passo 4

Agora vamos achar o comprimento de onda \lambda.
Conceito básico: o número de onda angular k (em \mathrm{rad/m}) e o comprimento de onda \lambda estão ligados por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Isso significa que uma oscilação completa em espaço (uma onda) corresponde a um avanço de fase de 2\pi radianos.
Isolando \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=1,00\times10^{7}:
\lambda=\frac{2\pi}{1,00\times10^{7}}.
Calculemos numericamente:
  • 2\pi \approx 6,2831853.
  • Então \lambda \approx \dfrac{6,2831853}{1,00\times10^{7}}=6,2831853\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\lambda \approx 6,28\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
que corresponde a \approx 628\\ \mathrm{nm} (no espectro visível).

Passo 5

Finalmente, encontramos a frequência f.
Relações importantes:
  • A relação entre a frequência temporal f (em Hz) e a frequência angular \omega (em rad/s) é
\omega=2\pi f.
  • Para uma onda eletromagnética no vácuo a relação de dispersão é simples:
\omega = c\,k,
ou seja, a velocidade de fase é c.
Portanto podemos obter \omega e então f.
Calcule \omega:
\omega = c\,k = (3,00\times10^{8})\cdot(1,00\times10^{7})=3,00\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora f=\dfrac{\omega}{2\pi}:
f=\frac{3,00\times10^{15}}{2\pi}.
Numérico:
  • 2\pi\approx6,2831853, então
f\approx \frac{3,00\times10^{15}}{6,2831853}\approx4,77\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Observação de verificação: também podemos usar f=c/\lambda. Usando \lambda\approx6,283\times10^{-7}\\ \mathrm{m} obtemos f\approx3,00\times10^{8}/6,283\times10^{-7}\approx4,77\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}, mesma resposta — bom sinal!

Resposta

B_{0}=1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{T}
\lambda=6,28\times10^{-7}\\ \mathrm{m}
f=4,77\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}

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