17.2 O campo elétrico (em unidades SI) de uma onda eletromagnética é
Encontre (a) a amplitude das oscilações do campo magnético correspondente, (b) o comprimento de onda
(c) a frequência
.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico de uma onda eletromagnética (unidades SI) como
O que nos pedem:
- (a) a amplitude das oscilações do campo magnético correspondente;
- (b) o comprimento de onda
; - (c) a frequência
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A amplitude do campo elétrico é
(unidades SI: volts por metro, isto é, ). - O número de onda angular (ou constante de onda) é
(unidades: ), pois o argumento é . - A velocidade da luz no vácuo vale aproximadamente
(vamos usar esse valor para cálculos numéricos). - Não foi dado
explicitamente, mas temos a relação entre , e para ondas eletromagnéticas no vácuo.
Passo 2
Entendendo a relação entre
e
numa onda eletromagnética no vácuo (aula rápida, sem medo):
- Numa onda plana eletromagnética no vácuo os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção de propagação, e as amplitudes estão relacionadas por
onde:
-
é a amplitude do campo elétrico (em ), -
é a amplitude do campo magnético (em tesla, ), -
é a velocidade da luz (em ).
Essa relação vem da solução das equações de Maxwell para ondas no vácuo e costuma ser usada direto na prova: o campo elétrico é maior numericamente que o magnético por um fator
. Portanto para achar
isolamos:
Passo 3
Aplicando a fórmula para achar a amplitude do campo magnético (substituindo os valores):
Agora fazemos a divisão passo a passo:
-
. - Dividindo as potências:
.
Logo
Interpretação: a amplitude do campo magnético é muito pequena em tesla, o que é normal — a parte elétrica costuma ser mais numericamente alta porque
é grande.
Passo 4
Agora vamos achar o comprimento de onda
.
Conceito básico: o número de onda angular
(em
) e o comprimento de onda
estão ligados por
Isso significa que uma oscilação completa em espaço (uma onda) corresponde a um avanço de fase de
radianos.
Isolando
:
Substituindo
:
Calculemos numericamente:
-
. - Então
.
Arredondando com três algarismos significativos:
que corresponde a
(no espectro visível).
Passo 5
Finalmente, encontramos a frequência
.
Relações importantes:
- A relação entre a frequência temporal
(em Hz) e a frequência angular (em rad/s) é
- Para uma onda eletromagnética no vácuo a relação de dispersão é simples:
ou seja, a velocidade de fase é
.
Portanto podemos obter
e então
.
Calcule :
Calcule
Agora
:
Numérico:
-
, então
Observação de verificação: também podemos usar
. Usando
obtemos
, mesma resposta — bom sinal!