Questão 2 ( 2.0 pontos) Determine o campo magnético B :
do lado de fora de um fio infinito condutor, que possui uma seção circular de raio R, por onde passa uma corrente i, usando a Lei de Ampère.

Passo 1

O enunciado dá um fio infinito com seção circular de raio \;R\; por onde passa uma corrente \;i\;. Pede-se o campo magnético \mathbf{B} do lado de fora do fio, isto é, em pontos cuja distância ao eixo do fio é \;r>R\;.
Informações relevantes:
  • raio da seção: \;R\;;
  • corrente total que atravessa a seção: \;i\;;
  • queremos \mathbf{B} para \;r>R\;;
  • o fio é infinito e a corrente é constante no tempo (corrente contínua).

Passo 2

Argumento de simetria (por que o campo tem a forma que vamos supor).
  • O fio é infinito e a seção circular é homogênea em ângulo; portanto o problema tem simetria cilíndrica em torno do eixo do fio.
  • Isso implica que o campo magnético em pontos a uma mesma distância radial \;r\; do eixo tem a mesma magnitude e que suas linhas são círculos concêntricos ao fio (direção azimutal).
  • Assim podemos escrever a direção do campo como a direção unitária angular \;\hat{\varphi}\; e o módulo do campo depende somente de \;r\;:
\mathbf{B}(r)=B(r)\,\hat{\varphi}.

Passo 3

Escolha da curva amperiana (o caminho para aplicar a Lei de Ampère).
  • Pela simetria, escolhemos uma circunferência de raio \;r\; (com \;r>R\;) centrada no eixo do fio.
  • Um elemento de comprimento ao longo dessa curva vale \;d\mathbf{l}=r\,d\varphi\,\hat{\varphi}\;, onde \varphi é o ângulo polar que varia de 0 a 2\pi.

Passo 4

Escrevendo a Lei de Ampère e explicando cada termo.
  • A forma integral da Lei de Ampère (no vácuo) é
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde:
  • \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} é a integral do campo magnético ao longo da curva fechada escolhida;
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \;\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}\;);
  • \;I_{\text{enc}}\; é a corrente total que atravessa a superfície limitada pela curva (corrente “encerrada” pela curva).

Passo 5

Avaliação do lado esquerdo \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}.
  • Em cada ponto da circunferência \mathbf{B} é paralelo a d\mathbf{l} (ambos na direção \hat{\varphi}) e o módulo de \mathbf{B} é constante ao longo da circunferência.
  • Logo
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}= \int_{0}^{2\pi} B(r)\,\hat{\varphi}\cdot\bigl(r\,d\varphi\,\hat{\varphi}\bigr)= B(r)\,r\int_{0}^{2\pi} d\varphi = B(r)\,r\,(2\pi).

Passo 6

Avaliação de \;I_{\text{enc}}\; (corrente encerrada pela circunferência de raio \;r\;).
  • Como \;r>R\;, a circunferência envolve toda a seção do fio; portanto a corrente total atravessando a superfície é exatamente a corrente do fio:
I_{\text{enc}}=i.

Passo 7

Resolver a equação de Ampère para B(r).
  • Substituindo na Lei de Ampère:
B(r)\,r\,(2\pi)=\mu_0\,i.
  • Isolando B(r):
B(r)=\dfrac{\mu_0\,i}{2\pi\,r}.

Passo 8

Direção do campo e forma vetorial final; interpretação e unidades.
  • A direção é azimutal (circunferencial) dada por \hat{\varphi}; pelo “regra da mão direita” o sentido de \hat{\varphi} é tal que os dedos apontam ao redor do fio acompanhando o sentido da corrente quando o polegar aponta na direção da corrente.
  • A forma vetorial do campo magnético para r>R é
\mathbf{B}(r)=\dfrac{\mu_0\,i}{2\pi\,r}\,\hat{\varphi}.
  • Unidades: \mu_0 em \mathrm{T\,m/A}, i em A, r em m, então \mathbf{B} em tesla (T).
  • Exemplo numérico rápido: para i=1\\ \mathrm{A} e r=1{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m},
B=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\cdot 1}{2\pi\cdot 0{,}01}=2\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=20\\ \mu\mathrm{T}.
Dá uma ideia de ordem de grandeza.

Resposta

\mathbf{B}(r)=\dfrac{\mu_0\,i}{2\pi\,r}\,\hat{\varphi}

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