Calcule a razão entre a força de arrasto em um avião modelo turbojato voando sob velocidade de magnitude
v_{0} a uma altitude h e a força de arrasto em um avião modelo turboélice voando sob velocidade de magnitude v_{0} / 2 e altitude h / 2. A densidade do ar é \rho na altitude h, enquanto tem valor da ordem de 2 \rho na altitude h / 2. Neste exercício, utilize a expressão para a força de arrasto na forma \left\|\vec{F}_{A}\right\|=(1 / 2) C \rho A\|\vec{v}\|^{2}, onde A é a área de seção transversal das aeronaves, C é o coeficiente de arrasto, \|\vec{v}\| a magnitude da velocidade das aeronaves, e \rho é a densidade do ar. Por simplicidade, considere que ambas aeronaves têm a mesma seção transversal de área A e coeficiente de arrasto C.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a razão entre a força de arrasto de duas situações distintas: um avião turbojato em altitude h voando com velocidade de magnitude v_{0} e um avião turboélice em altitude h/2 voando com velocidade de magnitude v_{0}/2. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{Força de arrasto: }\|\vec{F}_{A}\| = \frac{1}{2} C \rho A \|\vec{v}\|^{2}.ç
Dados específicos:
\begin{aligned} &\text{Turbojato: velocidade } \|\vec{v}\| = v_{0},\quad \text{densidade do ar } \rho \text{ (na altitude } h).\\\ &\text{Turboélice: velocidade } \|\vec{v}\| = \frac{v_{0}}{2},\quad \text{densidade do ar } \approx 2\rho \text{ (na altitude } h/2).\\\ &\text{Ambas têm a mesma área } A \text{ e coeficiente de arrasto } C. \end{aligned}éêá
O que precisa ser calculado: a razão
\frac{\|\vec{F}_{A}\|_{\text{turbojato}}}{\|\vec{F}_{A}\|_{\text{turboélice}}}.é

Passo 2

Vou explicar cuidadosamente a fórmula da força de arrasto usada aqui:
\|\vec{F}_{A}\| = \frac{1}{2} C \rho A \|\vec{v}\|^{2}.
Interpretação de cada símbolo:
\begin{aligned} &\|\vec{F}_{A}\|:\\ \text{módulo da força de arrasto (N)},\\\ &\frac{1}{2}:\\ \text{constante numérica presente na fórmula física},\\\ &C:\\ \text{coeficiente adimensional de arrasto (depende da forma do corpo e do regime de escoamento)},\\\ &\rho:\\ \text{densidade do fluido (kg/m}^{3}\text{)},\\\ &A:\\ \text{área de seção transversal (m}^{2}\text{) que "recebe" o escoamento},\\\ &\|\vec{v}\|:\\ \text{velocidade relativa entre o corpo e o fluido (m/s)}. \end{aligned}óçéóíáçã
Observação didática importante: a dependência é linear em \rho (duplicar \rho duplica \|\vec{F}_A\|) e quadrática em \|\vec{v}\| (se \|\vec{v}\| é dividida por 2, o termo \|\vec{v}\|^{2} fica dividido por 4). Isso é a chave para comparar as duas situações.

Passo 3

Calculo explícito da força de arrasto para o turbojato (situação no altitude h):
\|\vec{F}_{A}\|_{\text{turbojato}} = \frac{1}{2}\,C\,\rho\,A\,v_{0}^{2}.
Aqui usei diretamente a fórmula com \rho (densidade em h) e velocidade v_{0}.

Passo 4

Calculo explícito da força de arrasto para o turboélice (situação no altitude h/2):
a densidade é aproximadamente 2\rho (dado do enunciado) e a velocidade é v_{0}/2. Substituindo na fórmula:
\|\vec{F}_{A}\|_{\text{turboélice}} = \frac{1}{2}\,C\,(2\rho)\,A\,\left(\frac{v_{0}}{2}\right)^{2}.é
Agora desenvolvo o termo de velocidade:
\left(\frac{v_{0}}{2}\right)^{2} = \frac{v_{0}^{2}}{4}.
Substituindo:
\|\vec{F}_{A}\|_{\text{turboélice}} = \frac{1}{2}\,C\,(2\rho)\,A\,\frac{v_{0}^{2}}{4}.é

Passo 5

Simplifico a expressão para \|\vec{F}_{A}\|_{\text{turboélice}}é. Multiplicando os factores numéricos:
\frac{1}{2}\times 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Portanto
\|\vec{F}_{A}\|_{\text{turboélice}} = \frac{1}{4}\,C\,\rho\,A\,v_{0}^{2}.é

Passo 6

Agora monto a razão pedida, dividindo a expressão do turbojato pela do turboélice:
\frac{\|\vec{F}_{A}\|_{\text{turbojato}}}{\|\vec{F}_{A}\|_{\text{turboélice}}} = \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\,C\,\rho\,A\,v_{0}^{2}} {\displaystyle \frac{1}{4}\,C\,\rho\,A\,v_{0}^{2}}.é
Aqui dá para cancelar imediatamente os fatores comuns C, \rho, A e v_{0}^{2}, sobrando a razão dos coeficientes numéricos:
\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}.
Se precisar lembrar: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso, então \frac{1/2}{1/4} = \frac{1}{2}\times\frac{4}{1}.

Passo 7

Faço a conta numérica final da razão entre os coeficientes:
\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2.
Interpretação física rápida (motivacional): isso significa que, nas condições dadas, o turbojato experimenta o dobro da força de arrasto que o turboélice experimenta. Lembre-se da regra prática: densidade entra linearmente, velocidade ao quadrado — por isso reduzir velocidade pela metade reduz muito a arrasto (a 1/4), e dobrar densidade só duplica; os dois efeitos juntos resultaram numa redução global do denominador por 1/2, logo a razão final ficou 2.

Resposta

\;2

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