17^circ ) Determine as derivadas parciais de:
z=sen x y+e^x-y, onde x=rho sen theta e y=rho cos theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
z = sen(x y) + e^,x - y
em que
x = rho ,sentheta e y = rho ,costheta
O conteúdo que vamos usar é derivada parcial de função composta (regra da cadeia) e derivada de funções elementares ( sen, cos, e^u).

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas parciais de z em função de x e y.
Derivando sen(x y) em relação a x (tratando y como constante) e e^x-y em relação a x, temos
partial zpartial x = ycos(xy) + e^,x-y
De modo análogo, em relação a y,
partial zpartial y = xcos(xy) - e^,x-y

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a rho e theta:
x = rho sintheta, y = rho costheta ;Longrightarrow; partial xpartial rho = sintheta,[6pt] partial xpartial theta = rho costheta,[6pt] partial ypartial rho = costheta,[6pt] partial ypartial theta = -rho sintheta ]

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial rho:
partial zpartial rho = partial zpartial x,partial xpartial rho + partial zpartial y,partial ypartial rho
Substituindo,
partial zpartial rho = l(ycos(xy)+e^,x-yr)sentheta + l(xcos(xy)-e^,x-yr)costheta

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial theta:
partial zpartial theta = partial zpartial x,partial xpartial theta + partial zpartial y,partial ypartial theta
Substituindo,
partial zpartial theta = l(ycos(xy)+e^,x-yr)l(rhocosthetar) + l(xcos(xy)-e^,x-yr)l(-rhosenthetar)

Resposta

partial zpartial rho = l(ycos(xy)+e^,x-yr)sentheta + l(xcos(xy)-e^,x-yr)costheta,
partial zpartial theta = rhol[l(ycos(xy)+e^,x-yr)costheta - l(xcos(xy)-e^,x-yr)senthetar]

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