Exercício 1.10. Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2b dada por
f(x)= x+b,b-a,,& -b<= x<= -a,[1ex] 1,& -a<= x<= a,[1ex] -x-b,b-a,,& a<= x<= b,
ou seja, expandir
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancosnpi xb+bnsinnpi xbr)
Vamos usar as fórmulas padrão
a0=1bintegral-b^bf(x),dx, an=1bintegral-b^bf(x)cos!npi xb,dx, bn=1bintegral-b^bf(x)sin!npi xb,dx
e explorar simetrias da função para simplificar as integrais.]

Passo 2

Note que f é uma função par (verifica-se diretamente que f(-x)=f(x)). Logo
bn=0forall,n,
e
an=2bintegral0^bf(x)cos!npi xb,dx

Passo 3

Cálculo de a0: como f é par,
integral-b^bf(x),dx =2integral0^bf(x),dx =2l(integral0^a1,dx+integrala^bb-xb-a,dxr)
Temos
integral0^a1,dx=a, integrala^b(b-x),dx=(b-a)^22,
logo
integral-b^bf(x),dx =2l(a+(b-a)^22(b-a)r) =2l(a+b-a2r) =a+b
Portanto
a0=1b(a+b),
e o termo constante fica
a02=a+b2b

Passo 4

Cálculo de an:
an=2bl(integral0^a1cdotcos!npi xb,dx +integrala^bb-xb-acos!npi xb,dxr)
  1. integral0^acos!npi xb,dx =bnpisin!npi ab
  2. Para I=integrala^b(b-x)cos!npi xb,dx usamos integração por partes com
    u=b-x, dv=cos!npi xbdx.
    Isso dá I=-b(b-a)npisin!npi ab ;-;b^2n^2pi^2l[(-1)^n-cos!npi abr] Logo integrala^bb-xb-acos!npi xb,dx =-bnpisin!npi ab -b^2(b-a),n^2pi^2l[(-1)^n-cos!npi abr]
Somando as partes e multiplicando por 2/b, observa‐se o cancelamento dos termos em sin, sobrando
an =-2b,b^2(b-a),n^2pi^2l[(-1)^n-cos!npi abr] =2b(b-a),n^2pi^2l[cos!npi ab-(-1)^nr]

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier de é

Resposta

f(x)=a+b2b +sumn=1^infty 2b(b-a),n^2pi^2l[cos!npi ab-(-1)^nr] cos!npi xb

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