Para I=integrala^b(b-x)cos!npi xb,dx usamos integração por partes com u=b-x, dv=cos!npi xbdx.
Isso dá I=-b(b-a)npisin!npi ab ;-;b^2n^2pi^2l[(-1)^n-cos!npi abr] Logo integrala^bb-xb-acos!npi xb,dx =-bnpisin!npi ab -b^2(b-a),n^2pi^2l[(-1)^n-cos!npi abr]
Somando as partes e multiplicando por 2/b, observa‐se o cancelamento dos termos em sin, sobrando
an =-2b,b^2(b-a),n^2pi^2l[(-1)^n-cos!npi abr] =2b(b-a),n^2pi^2l[cos!npi ab-(-1)^nr]