17^circ ) Determine as derivadas parciais de:
z=2 x^2 y-4 x y^2-y^3, onde x=rho^2 theta sen alpha e y=rho theta cos 2 alpha

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de duas variáveis
z = 2x^2y ;-;4xy^2;-;y^3
e define as variáveis x e y em termos de rho, theta e alpha por
x = rho^2,theta,sinalpha, y = rho,theta,cos2alpha
Precisamos encontrar as derivadas parciais partial z/partial rho, partial z/partial theta e partial z/partial alpha. O método é usar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Como
z = 2x^2y ;-;4xy^2;-;y^3,
temos
partial zpartial x = 4xy ;-;4y^2,
partial zpartial y = 2x^2 ;-;8xy ;-;3y^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a rho, theta e alpha:
partial xpartial rho = 2rho,theta,sinalpha, partial xpartial theta = rho^2,sinalpha, partial xpartial alpha = rho^2,theta,cosalpha,
partial ypartial rho = theta,cos2alpha, partial ypartial theta = rho,cos2alpha, partial ypartial alpha = -2rho,theta,sin2alpha

Passo 4

Pela regra da cadeia, para cada uma das variáveis uinrho,theta,alpha vale
partial zpartial u = partial zpartial x,partial xpartial u + partial zpartial y,partial ypartial u

Passo 5

Substituindo partial z/partial x, partial z/partial y e as derivadas de x,y, e lembrando que
x=rho^2thetasinalpha, y=rhothetacos2alpha,
obtemos as três derivadas parciais:
partial zpartial rho = l(4xy - 4y^2r),(2rhothetasinalpha) + l(2x^2 - 8xy - 3y^2r),(thetacos2alpha),
partial zpartial theta = l(4xy - 4y^2r),(rho^2sinalpha) + l(2x^2 - 8xy - 3y^2r),(rhocos2alpha),
partial zpartial alpha = l(4xy - 4y^2r),(rho^2thetacosalpha) + l(2x^2 - 8xy - 3y^2r),(-2rhothetasin2alpha)

Resposta

partial zpartial rho = (4xy - 4y^2),(2rhothetasinalpha) + (2x^2 - 8xy - 3y^2),(thetacos2alpha),
partial zpartial theta = (4xy - 4y^2),(rho^2sinalpha) + (2x^2 - 8xy - 3y^2),(rhocos2alpha),
partial zpartial alpha = (4xy - 4y^2),(rho^2thetacosalpha) -2,(2x^2 - 8xy - 3y^2),(rhothetasin2alpha),
com x=rho^2thetasinalpha e y=rhothetacos2alpha.

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