Sejam as funções f(x)=x^3-x^2+1 e g(x)=x^2+1. Determine:
a) f(x)-g(x)
b) dd x(f(x) cdot g(x))
c) dd x(f(x)g(x))

Passo 1

O enunciado pede três coisas envolvendo as funções
f(x)=x^3-x^2+1
e
g(x)=x^2+1:
a) a diferença f(x)-g(x), b) a derivada de f(x)cdot g(x) e c) a derivada do quociente f(x)g(x). Vamos usar subtração de polinômios, a regra do produto e a regra do quociente de derivadas.

Passo 2

Para calcular
f(x)-g(x),
subtraímos termo a termo:
x^3-x^2+1 ;-;(x^2+1) = x^3-x^2+1 - x^2 - 1 = x^3 - 2x^2

Passo 3

Para derivar f(x)cdot g(x) usamos a regra do produto:
ddxl(fgr) = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)
Primeiro,
f'(x)=3x^2-2x, g'(x)=2x
Logo,
ddxl(fgr) =(3x^2-2x)(x^2+1)+(x^3-x^2+1),(2x)
Expandindo e somando termos semelhantes obtemos
3x^4-2x^3+3x^2-2x +2x^4-2x^3+2x =5x^4-4x^3+3x^2

Passo 4

Para derivar f(x)g(x) usamos a regra do quociente:
ddx!l(tfracfgr) =f'(x),g(x)-f(x),g'(x)l(g(x)r)^2
Substituindo f', g e g' já calculados:
num=(3x^2-2x)(x^2+1)-(x^3-x^2+1)(2x)
Da expansão anterior temos
(3x^2-2x)(x^2+1)=3x^4-2x^3+3x^2-2x,
(x^3-x^2+1)(2x)=2x^4-2x^3+2x
Então
num =3x^4-2x^3+3x^2-2x -l(2x^4-2x^3+2xr) = x^4+3x^2-4x
E o denominador é (x^2+1)^2.

Resposta

(a) f(x)-g(x)=x^3-2x^2
(b) ddxl(f(x),g(x)r)=5x^4-4x^3+3x^2
(c) ddx!l(tfracf(x)g(x)r)=x^4+3x^2-4x(x^2+1)^2

Exercícios relacionados