17^{\circ} ) Determine para que valores de x cada uma das sequências seguintes convergem. \sum_{n=1}^{\infty} n^{k} \cdot x^{n}
Passo 1
O enunciado pede para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{k}\,x^{n}
converge. Como é uma série de potências em x, vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência, e depois examinar os pontos de fronteira \lvert x\rvert=1.
Passo 2
Definimos a_{n}=n^{k}x^{n}. Aplicando o teste da razão, calculamos