17^{\circ} ) Determine para que valores de x cada uma das sequências seguintes convergem.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{k} \cdot x^{n}

Passo 1

O enunciado pede para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{k}\,x^{n}
converge. Como é uma série de potências em x, vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência, e depois examinar os pontos de fronteira \lvert x\rvert=1.

Passo 2

Definimos a_{n}=n^{k}x^{n}. Aplicando o teste da razão, calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{k}\,\lvert x\rvert^{\,n+1}}{n^{k}\,\lvert x\rvert^{\,n}} =\lvert x\rvert\;\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{k} =\lvert x\rvert.

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se
\lvert x\rvert<1,
e d diverge se
\lvert x\rvert>1.

Passo 4

Faltam os pontos de fronteira:
  • Em x=1 a série vira \sum n^{k}, que diverge porque seus termos não tendem a zero.
  • Em x=-1 a série vira \sum(-1)^{n}n^{k}, cujos termos em módulo são n^{k}\not\to0, logo também diverge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}n^{k}x^{n} converge se e somente se
\lvert x\rvert<1.

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