Questão 1 Considere o resultado do Exercício 6, da Parte II da Sugestão de Exercícios 9. Considere também a seguinte
Definição: Se \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \ldots, \vec{v}_{k}\right\} uma base ordenada do subespaço \mathbb{W} \subseteq \mathbb{R}^{n} e \vec{w} \in \mathbb{W}, então \vec{w}=\alpha_{1} \vec{v}_{1}+\alpha_{2} \vec{v}_{2}+\ldots+\alpha_{k} \vec{v}_{k} para certos números reais \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k}. Esses escalares são chamados coordenadas de \vec{w} em relação à base \beta e denotados por
[\vec{w}]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}\alpha_{1} \\\ \alpha_{2} \\\ \vdots \\\ \alpha_{k}\end{array}\right].
(a) Encontre um vetor \vec{v}_{3} \in \mathbb{R}^{3} que pode ser acrescentado ao conjunto \left\{\vec{v}_{1}=(-1,2,3), \vec{v}_{2}=(1,-2,-2)\right\} de modo a formar uma base \beta de \mathbb{R}^{3}.
(b) Obtenha as coordenadas do vetor \vec{v}=(5,-12,3) em relação à base \beta.
(c) Encontre o vetor \vec{w} \in \mathbb{R}^{3} cujas coordenadas são [\vec{w}]_{\beta}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{v}_1=(-1,2,3) e \vec{v}_2=(1,-2,-2), e pede:
(a) encontrar \vec{v}_3 de modo que \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} seja base de \mathbb{R}^3;
(b) expressar \vec{v}=(5,-12,3) nessa base;
(c) reconstruir \vec{w} a partir de coordenadas dadas [\vec{w}]_\beta=(-1,3,2)^T.
O conteúdo usado será independência linear em \mathbb{R}^3, sistema linear para coordenadas e combinação linear.

Passo 2

Para (a) basta escolher \vec{v}_3\) que não esteja no span\(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}\). Tomemos \[\vec{v}_3 = (1,0,0).
Se houvesse \alpha,\beta tais que \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2=\vec{v}_3, teríamos o sistema
\begin{cases} -\alpha + \beta = 1,\\\\ 2\alpha - 2\beta = 0,\\\\ 3\alpha - 2\beta = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \beta=\alpha\], mas na primeira isso dá \(-\alpha+\alpha=1, impossível. Logo \vec{v}_3 não pertence ao span de \vec{v}_1,\vec{v}_2 e \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é independente em \mathbb{R}^3, ou seja, base.

Passo 3

Para (b) buscamos escalares a,b,c\) tais que \[a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3 = \vec{v}.
Escrevendo por componentes:
\begin{cases} -\,a + b + c = 5,\\\\ 2a - 2b = -12,\\\\ 3a - 2b = 3. \end{cases}
Da segunda equação \;b=a+6\]. Substituindo na terceira: \[3a -2(a+6)=3\quad\Rightarrow\quad a-12=3\quad\Rightarrow\quad a=15,\] logo \(b=21. Finalmente, da primeira,
-15 + 21 + c = 5\quad\Rightarrow\quad c=-1.
Portanto
[\vec{v}]_{\beta} =\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}15\\\ 21\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para (c) usamos a combinação linear com [\vec{w}]_\beta=(-1,3,2)^T:
\vec{w} =-1\,\vec{v}_1 + 3\,\vec{v}_2 + 2\,\vec{v}_3 =-1(-1,2,3)+3(1,-2,-2)+2(1,0,0).
Calculando coordenada a coordenada:
\vec{w}=(1+3+2,\,-2-6+0,\,-3-6+0)=(6,-8,-9).

Resposta

(a) \vec{v}_3 = (1,0,0)
(b) [\vec{v}]_{\beta}=\displaystyle\begin{pmatrix}15\\\ 21\\\ -1\end{pmatrix}
(c) \vec{w}=(6,-8,-9)

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