Questão 1 Considere o resultado do Exercício 6, da Parte II da Sugestão de Exercícios 9. Considere também a seguinte
Definição: Se \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \ldots, \vec{v}_{k}\right\} uma base ordenada do subespaço \mathbb{W} \subseteq \mathbb{R}^{n} e \vec{w} \in \mathbb{W}, então \vec{w}=\alpha_{1} \vec{v}_{1}+\alpha_{2} \vec{v}_{2}+\ldots+\alpha_{k} \vec{v}_{k} para certos números reais \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k}. Esses escalares são chamados coordenadas de \vec{w} em relação à base \beta e denotados por [\vec{w}]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}\alpha_{1} \\\ \alpha_{2} \\\ \vdots \\\ \alpha_{k}\end{array}\right].
(a) Encontre um vetor \vec{v}_{3} \in \mathbb{R}^{3} que pode ser acrescentado ao conjunto \left\{\vec{v}_{1}=(-1,2,3), \vec{v}_{2}=(1,-2,-2)\right\} de modo a formar uma base \beta de \mathbb{R}^{3}.
(b) Obtenha as coordenadas do vetor \vec{v}=(5,-12,3) em relação à base \beta.
(c) Encontre o vetor \vec{w} \in \mathbb{R}^{3} cujas coordenadas são [\vec{w}]_{\beta}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{v}_1=(-1,2,3) e \vec{v}_2=(1,-2,-2), e pede:
(a) encontrar \vec{v}_3 de modo que \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} seja base de \mathbb{R}^3;
(b) expressar \vec{v}=(5,-12,3) nessa base;
(c) reconstruir \vec{w} a partir de coordenadas dadas [\vec{w}]_\beta=(-1,3,2)^T.
O conteúdo usado será independência linear em \mathbb{R}^3, sistema linear para coordenadas e combinação linear.
Passo 2
Para (a) basta escolher \vec{v}_3\) que não esteja no span\(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}\). Tomemos
\[\vec{v}_3 = (1,0,0).
Se houvesse \alpha,\beta tais que \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2=\vec{v}_3, teríamos o sistema
Da segunda equação vem \beta=\alpha\], mas na primeira isso dá \(-\alpha+\alpha=1, impossível. Logo \vec{v}_3 não pertence ao span de \vec{v}_1,\vec{v}_2 e \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é independente em \mathbb{R}^3, ou seja, base.
Passo 3
Para (b) buscamos escalares a,b,c\) tais que
\[a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3 = \vec{v}.
Escrevendo por componentes:
\begin{cases} -\,a + b + c = 5,\\\\ 2a - 2b = -12,\\\\ 3a - 2b = 3. \end{cases}
Da segunda equação \;b=a+6\]. Substituindo na terceira:
\[3a -2(a+6)=3\quad\Rightarrow\quad a-12=3\quad\Rightarrow\quad a=15,\]
logo \(b=21. Finalmente, da primeira,