Determine se
é diagonalizável (sobre
) e, quando for, encontre uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
é diagonalizável sobre
e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tais que
O conteúdo principal aqui é a diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores.
Passo 2
Para determinar os autovalores de
, calculamos o polinômio característico
Usando expansão pela primeira linha:
Calculamos cada determinante:
Logo
Fatorando
, obtemos
ou, reescrevendo
,
Passo 3
Os autovalores são as raízes do polinômio característico, isto é
Como são três autovalores distintos e todos reais, concluímos que
é diagonalizável sobre
.
Passo 4
Agora encontramos um autovetor não-nulo para cada autovalor:
Para
:
Resolvemos , isto é
Resolvemos
Um autovetor é
Para
:
Resolvemos , isto é
Resolvemos
Um autovetor é
Para
:
Resolvemos , isto é
Resolvemos
Um autovetor é
Esses três autovetores são linearmente independentes, então podem formar a matriz
.
Passo 5
Tomando como colunas de
os autovetores na ordem dos autovalores
, temos
Por construção,
é invertível e satisfaz
.