Determine se A é diagonalizável (sobre \mathbb{R} ) e, quando for, encontre uma matriz invertível P=\left(p_{i j}\right)_{3 \times 3} e uma matriz diagonal D=\left(d_{i j}\right)_{3 \times 3} tais que P^{-1} A P=D.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
é diagonalizável sobre \mathbb{R} e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
P^{-1}AP = D.
O conteúdo principal aqui é a diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores.

Passo 2

Para determinar os autovalores de A, calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & 1-\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Usando expansão pela primeira linha:
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} -0 +1\det\begin{pmatrix}0 & 1-\lambda\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Calculamos cada determinante:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-\lambda)-1 =-\lambda(1-\lambda)-1 =\lambda^2-\lambda-1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1-\lambda\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =0\cdot1-(1-\lambda)\cdot1=-(1-\lambda).
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\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-1)-(1-\lambda) =(1-\lambda)\bigl(\lambda^2-\lambda-1-1\bigr) =(1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2).
Fatorando \lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1), obtemos
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1),
ou, reescrevendo (1-\lambda)=-(\lambda-1),
\det(A-\lambda I) =-(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+1).

Passo 3

Os autovalores são as raízes do polinômio característico, isto é
\lambda = 2,\quad \lambda = 1,\quad \lambda = -1.
Como são três autovalores distintos e todos reais, concluímos que A é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Passo 4

Agora encontramos um autovetor não-nulo para cada autovalor:
Para \lambda=2:
Resolvemos (A-2I)x=0, isto é
\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\\ 0 & -1 & 1\\\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; x=z,\;y=z.
Um autovetor é
\displaystyle v_2=(1,1,1)^{T}.
Para \lambda=1:
Resolvemos (A-I)x=0, isto é
\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\\ 0 & 0 & 1\\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; z=0,\;x+y=0.
Um autovetor é
\displaystyle v_1=(1,-1,0)^{T}.
Para \lambda=-1:
Resolvemos (A+I)x=0, isto é
\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\\ 0 & 2 & 1\\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; z=-2x,\;y=x.
Um autovetor é
\displaystyle v_{-1}=(1,1,-2)^{T}.
Esses três autovetores são linearmente independentes, então podem formar a matriz P.

Passo 5

Tomando como colunas de P os autovetores na ordem dos autovalores (2,1,-1), temos
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Por construção, P é invertível e satisfaz P^{-1}AP=D.

Resposta

P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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