17- Considera-se um escoamento de camada limite representado pelo seguinte campo de velocidade:
\frac{u_{1}}{u_{\infty}}=a+b\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)+c\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)^{2}
  • Usando a solução via método de similaridade e suas respectivas condições de contorno, mostre quais devem ser os valores das constantes a, b e c para este perfil ser aplicado no problema de camada limite em uma placa plana bidimensional;
  • Usando a solução via perfil genérico de velocidade, calcule a espessura da camada limite.

Passo 1

O enunciado apresenta um perfil polinomial para o escoamento de camada limite numa placa plana bidimensional, dado por
\frac{u_{1}}{u_{\infty}} = a + b\!\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right) + c\!\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)^{2},
e pede:
  1. Determinar a, b e c a partir das condições de contorno típicas de camada limite em placa plana (no descolamento e na borda da camada limite).
  2. Usar esse perfil genérico para calcular a variação de \delta(x) ao longo da placa, via o método integral (equação de von Kármán).

Passo 2

Impondo as condições de contorno da camada limite:
  1. Não deslizamento na parede x_{2}=0: u_{1}=0.
    Logo
\frac{u_{1}}{u_{\infty}}\bigg|_{x_{2}=0} = a = 0.
  1. Emparelhamento com o escoamento externo x_{2}=\delta: u_{1}=u_{\infty}.
    Logo
a + b + c = 1.
  1. Desvanecimento do gradiente de velocidade na borda \partial u_{1}/\partial x_{2}=0 em x_{2}=\delta:
\frac{\partial}{\partial x_{2}}\Bigl(a + b\frac{x_{2}}{\delta} + c\Bigl(\frac{x_{2}}{\delta}\Bigr)^{2}\Bigr)\!\bigg|_{x_{2}=\delta} = \frac{b}{\delta} + \frac{2c}{\delta}\frac{x_{2}}{\delta}\Big|_{x_{2}=\delta} = \frac{b + 2c}{\delta} = 0
portanto
b + 2c = 0.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a = 0,\\\ a + b + c = 1,\\\ b + 2c = 0, \end{cases}
temos a=0. Da segunda equação b + c =1. Da terceira b=-2c. Substituindo em b+c=1 -2c + c =1\Rightarrow c=-1 e então b=2.

Passo 4

Portanto o perfil de velocidade fica
\frac{u_{1}}{u_{\infty}} = 2\frac{x_{2}}{\delta} - \Bigl(\frac{x_{2}}{\delta}\Bigr)^{2}.

Passo 5

Para calcular \delta(x) usamos a equação integral de von Kármán para placa plana (escoamento externo uniforme u_{\infty}=\text{constante}):
\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} = \frac{\tau_{w}}{\rho\,u_{\infty}^{2}},
onde \theta é a espessura de momento e
\tau_{w} = \mu\left.\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}\right|_{x_{2}=0} = \mu\,u_{\infty}\,\frac{2}{\delta}.
Calculamos \theta via
\theta = \int_{0}^{\delta}\frac{u_{1}}{u_{\infty}} \Bigl(1-\frac{u_{1}}{u_{\infty}}\Bigr)\,\mathrm{d}x_{2} = \delta\int_{0}^{1}(2\eta-\eta^{2})(1-2\eta+\eta^{2})\,\mathrm{d}\eta = \frac{2}{15}\,\delta,
onde \eta=x_{2}/\delta.

Passo 6

Substituindo em \tfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} = \tfrac{\tau_{w}}{\rho u_{\infty}^{2}}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\tfrac{2}{15}\,\delta\Bigr) = \frac{\mu\,u_{\infty}\,\tfrac{2}{\delta}}{\rho\,u_{\infty}^{2}} \;\Longrightarrow\; \frac{2}{15}\,\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}x} = \frac{2\mu}{\rho\,u_{\infty}\,\delta}.
Cancelando 2 e rearranjando:
\delta\,\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}x} = \frac{15\,\mu}{\rho\,u_{\infty}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}\,\frac{\mathrm{d}(\delta^{2})}{\mathrm{d}x} = \frac{15\,\mu}{\rho\,u_{\infty}}.
Integrando de 0 até x com condição inicial \delta(0)=0:
\delta^{2}(x) = \frac{30\,\mu}{\rho\,u_{\infty}}\,x = \frac{30\,\nu}{u_{\infty}}\,x.

Resposta

a =0, b =2, c = –1
\delta(x) = \sqrt{\frac{30\,\nu}{u_{\infty}}\,x}.

Exercícios relacionados