Considera-se um escoamento fluido onde:
Escoamento incompressível em regime permanente:

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  • Escoamento unidirecional e unidimensional em x_{1};
  • Ausência de efeitos convectivos e de forças de campo;
O gradiente de pressão deste escoamento na direção x_{1} foi aproximado utilizando a equação de Bernoulli, tal que:
\frac{\partial p}{\partial x_{1}}=\boldsymbol{P}+\rho \frac{\boldsymbol{U}^{2}}{2}
Onde \boldsymbol{P} e \boldsymbol{U} são valores constantes de velocidade e pressão tomados em um dado ponto do escoamento. Baseado nestas consideraçōes:
  • Deduza uma equação para o campo de velocidade deste escoamento em termos de \boldsymbol{P} e \boldsymbol{U} usando a simplificação do item anterior.
  • Simplifique a componente x_{1} da equação de Navier-Stokes.

Passo 1

Temos um escoamento incompressível, em regime permanente, unidirecional e unidimensional em x_{1}, sem termos convectivos nem forças de campo. Logo o campo de velocidades só tem componente
u_{1}=u_{1}(x_{1})
e a pressão satisfaz
\frac{\partial p}{\partial x_{1}} \;=\;\boldsymbol{P}+\rho\,\frac{\boldsymbol{U}^{2}}{2},
onde \boldsymbol{P} e \boldsymbol{U} são constantes conhecidas. Vamos usar isso para (i) obter u_{1}(x_{1}) e (ii) simplificar a equação de Navier–Stokes na direção x_{1}.

Passo 2

Escrevemos primeiro a componente x_{1} da equação de Navier–Stokes geral para escoamento incompressível e com viscosidade dinâmica \mu:
\rho\Bigl(\frac{\partial u_{1}}{\partial t} + u_{j}\,\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{j}}\Bigr) \;=\; -\,\frac{\partial p}{\partial x_{1}} \;+\; \mu\,\frac{\partial^{2}u_{1}}{\partial x_{j}\,\partial x_{j}} \;+\; \rho\,f_{1}.

Passo 3

Aplicamos as hipóteses:
  1. regime permanente \Rightarrow \partial u_{1}/\partial t=0,
  2. unidirecional e unidimensional \Rightarrow u_{2}=u_{3}=0 e u_{1}=u_{1}(x_{1}),
  3. sem termos convectivos \Rightarrow u_{j}\,\partial_{j}u_{1}=0,
  4. sem forças de campo \Rightarrow f_{1}=0.
    Além disso, em 1D só sobra \nabla^{2}u_{1} = d^{2}u_{1}/dx_{1}^{2}. Portanto a equação reduz-se a
0 \;=\; -\,\frac{\partial p}{\partial x_{1}} \;+\; \mu\,\frac{d^{2}u_{1}}{dx_{1}^{2}}.

Passo 4

Substituímos o gradiente de pressão aproximado:
\frac{d^{2}u_{1}}{dx_{1}^{2}} \;=\; \frac{1}{\mu}\Bigl(\boldsymbol{P} + \rho\,\frac{\boldsymbol{U}^{2}}{2}\Bigr) \;=\; A\quad(\text{constante}).
Integrando duas vezes em x_{1}, achamos
\frac{du_{1}}{dx_{1}} = A\,x_{1} + C_{1}, \qquad u_{1}(x_{1}) = \frac{A}{2}\,x_{1}^{2} + C_{1}\,x_{1} + C_{2},
onde
A = \frac{\boldsymbol{P} + \tfrac{\rho\,\boldsymbol{U}^{2}}{2}}{\mu},
e C_{1},C_{2} são constantes de integração que se fixam pelas condições de contorno.

Passo 5

Reescrevendo em termos de \boldsymbol{P} e \boldsymbol{U}, o campo de velocidades fica:
\boxed{ u_{1}(x_{1}) = \frac{\boldsymbol{P} + \tfrac{\rho\,\boldsymbol{U}^{2}}{2}}{2\,\mu}\;x_{1}^{2} \;+\; C_{1}\,x_{1} \;+\; C_{2}. }

Passo 6

A forma simplificada da componente x_{1} da equação de Navier–Stokes, após usar todas as hipóteses, é
\boxed{ 0 \;=\; -\,\frac{\partial p}{\partial x_{1}} \;+\; \mu\,\frac{d^{2}u_{1}}{dx_{1}^{2}}, }
que, substituindo \partial p/\partial x_{1}=\boldsymbol{P}+\rho\,\boldsymbol{U}^{2}/2, dá
\mu\,\frac{d^{2}u_{1}}{dx_{1}^{2}} = \boldsymbol{P} + \rho\,\frac{\boldsymbol{U}^{2}}{2}.

Resposta

(i) u_{1}(x_{1})=\dfrac{\boldsymbol{P} + \tfrac{\rho\,\boldsymbol{U}^{2}}{2}}{2\mu}\,x_{1}^{2}+C_{1}\,x_{1}+C_{2}.
(ii) A componente x_{1} simplificada é
0 = -\,\frac{\partial p}{\partial x_{1}} + \mu\,\frac{d^{2}u_{1}}{dx_{1}^{2}},
ou ainda
\mu\,\frac{d^{2}u_{1}}{dx_{1}^{2}} = \boldsymbol{P} + \frac{\rho\,\boldsymbol{U}^{2}}{2}.

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