17- Dois CSTRs em série são uma boa solução para a produção em contínuo de um produto secundário. Considere a associação deste tipo, onde o primeiro e o segundo reatores têm volume útil de 500 L e 714 L , respectivamente, sendo o primeiro alimentado com uma vazão volumétrica de 50 \mathrm{~L} / \mathrm{h} e não havendo alimentação nova no segundo. Admita que a formação do produto no primeiro reator é desprezível e que praticamente não ocorre crescimento no segundo reator. Suponha válido o modelo de Monod para o crescimento da biomassa. Calcule:
a) a concentração de biomassa e substrato no primeiro reator;
b) a massa de produto formada em 45 dias de operação;
c) a concentração de substrato no segundo reator.
\begin{aligned} & \text { Dados: } S_{0}=10 \mathrm{~g} / \mathrm{L} ; K_{\mathrm{S}}=0,5 \mathrm{~g} / \mathrm{L} ; Y_{\mathrm{x} / \mathrm{s}}=0,5 \mathrm{gX} / \mathrm{gS} ; Y_{\mathrm{P} / \mathrm{S}}=6,9 \mathrm{gP} / \mathrm{gS} ; \mu_{\mathrm{máx}}=0,12 \mathrm{~h}^{-1} ; \mu \mathrm{P}=0,08 \\\ & \mathrm{~h}^{-1} \end{aligned}á

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) a concentração de biomassa e de substrato no primeiro reator (CSTR de volume V_1=500\\ \mathrm{L}) alimentado com vazão volumétrica F=50\\ \mathrm{L}\,\mathrm{h}^{-1} e concentração de substrato de alimentação S_0=10\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}. É informado que a formação de produto no primeiro reator é desprezível.
  • (b) a massa de produto formada em 45 dias de operação.
  • (c) a concentração de substrato no segundo reator (CSTR de volume V_2=714\\ \mathrm{L}), que recebe o efluente do primeiro e não recebe alimentação nova; é dito que praticamente não ocorre crescimento no segundo reator.
Dados numéricos fornecidos (copiando do enunciado):
S_{0}=10\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1},\quad K_{S}=0{,}5\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1},\quad Y_{X/S}=0{,}5\\ \mathrm{gX}\,\mathrm{gS}^{-1},
Y_{P/S}=6{,}9\\ \mathrm{gP}\,\mathrm{gS}^{-1},\quad \mu_{\max}=0{,}12\\ \mathrm{h}^{-1},\quad \mu_{P}=0{,}08\\ \mathrm{h}^{-1}.
Observações do enunciado que usaremos: produto desprezível no reator 1; praticamente sem crescimento no reator 2.

Passo 2

Definir a vazão específica (taxa de diluição) do primeiro reator e usar o equilíbrio de CSTR para cultura contínua.
  • A definição de taxa de diluição é \;D=\dfrac{F}{V}, que mede a fração do volume renovada por unidade de tempo. Para um CSTR em regime permanente com crescimento microbiano, se não há acúmulo de biomassa, a taxa específica de crescimento média \mu no reator em equilíbrio normalmente iguala D (porque a perda por arraste é D X e deve ser equilibrada pela taxa de crescimento \mu X).
    Calcule D_1:
D_{1}=\dfrac{F}{V_{1}}=\dfrac{50\\ \mathrm{L}\,\mathrm{h}^{-1}}{500\\ \mathrm{L}}=0{,}1\\ \mathrm{h}^{-1}.
Assim, no primeiro reator em regime permanente tomamos \mu=D_{1}=0{,}1\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 3

Usar o modelo de Monod para obter a concentração de substrato no primeiro reator.
  • O modelo de Monod relaciona a taxa específica de crescimento \mu com a concentração de substrato S por
\mu=\mu_{\max}\dfrac{S}{K_{S}+S},
onde \mu é a taxa específica de crescimento (h^{-1}), \mu_{\max} é o máximo, K_S é a constante de meia-saturação e S é a concentração de substrato (g,L^{-1}).
  • Isolando S quando conhecemos \mu:
\mu(K_{S}+S)=\mu_{\max}S\quad\Rightarrow\quad \mu K_{S}=S(\mu_{\max}-\mu)
\Rightarrow\quad S=\dfrac{\mu K_{S}}{\mu_{\max}-\mu}.
Aplicando ao reator 1 com \mu=0{,}1\\ \mathrm{h}^{-1}:
S_{1}=\dfrac{0{,}1\cdot 0{,}5}{0{,}12-0{,}1}=\dfrac{0{,}05}{0{,}02}=2{,}5\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}.

Passo 4

Calcular a concentração de biomassa no primeiro reator usando rendimento carbono-substrato.
  • A relação de rendimento Y_{X/S} significa que para cada grama de substrato consumida produz-se Y_{X/S} gramas de biomassa. Assim, assumindo que não há biomassa na alimentação,
X_{1}=Y_{X/S}\,(S_{0}-S_{1}).
Substituindo:
X_{1}=0{,}5\cdot(10-2{,}5)=0{,}5\cdot 7{,}5=3{,}75\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}.
(Interpretação: do 10\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1} alimentado, restam 2{,}5, logo 7{,}5 gS consumidos por litro; com Y_{X/S}=0{,}5 isso vira 3{,}75\\ \mathrm{gX} por litro.)

Passo 5

Determinar as condições no segundo reator: taxa de diluição, biomassa e hipótese de quase nenhum crescimento.
  • A taxa de diluição do segundo reator é
D_{2}=\dfrac{F}{V_{2}}=\dfrac{50}{714}\\ \mathrm{h}^{-1}\approx 0{,}0700\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Como o enunciado diz que praticamente não ocorre crescimento no segundo reator, tomamos \mu\approx 0 lá. Escrevendo o balanço de biomassa estacionário para o CSTR 2:
0 = D_{2}(X_{\text{in}}-X_{2}) + \mu X_{2}\approx D_{2}(X_{1}-X_{2}),
pois X_{\text{in}}=X_{1} (o efluente do reator 1 alimenta o reator 2) e \mu\approx 0. Logo
X_{2}=X_{1}=3{,}75\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}.
(Explicação intuitiva: sem crescimento e em estado estacionário, a concentração em 2 é igual à concentração trazida pela alimentação.)

Passo 6

Modelar a formação de produto no segundo reator e relacionar com consumo de substrato.
  • O enunciado fornece \mu_{P}=0{,}08\\ \mathrm{h}^{-1}. Aqui adotamos a hipótese usual em problemas industriais: a formação de produto é não-associada ao crescimento e é proporcional à biomassa presente, i.e. taxa específica de formação de produto por unidade de biomassa \mu_{P}. Assim a taxa volumétrica de formação de produto é
r_{P}=\mu_{P}\,X_{2}\quad(\mathrm{gP}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{h}^{-1}).
  • Calculemos r_{P}:
r_{P}=0{,}08\cdot 3{,}75=0{,}30\\ \mathrm{gP}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{h}^{-1}.
  • A partir do rendimento produto/substrato Y_{P/S} (gramas de produto por grama de substrato consumido) obtemos a taxa de consumo de substrato associada à produção de produto:
r_{S}=\dfrac{r_{P}}{Y_{P/S}}=\dfrac{0{,}30}{6{,}9}\approx 0{,}04348\\ \mathrm{gS}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{h}^{-1}.

Passo 7

Calcular a concentração de substrato no segundo reator usando balanço de substrato em CSTR em regime permanente.
  • O balanço estacionário de substrato no CSTR 2 é
0=D_{2}(S_{1}-S_{2})-r_{S},
onde S_{1} é a concentração de entrada (o efluente do reator 1, que já calculamos) e r_S é o consumo por produção de produto. Isolando S_{2}:
S_{2}=S_{1}-\dfrac{r_{S}}{D_{2}}.
  • Substituindo valores numéricos:
S_{2}=2{,}5-\dfrac{0{,}04348}{0{,}0700}\approx 2{,}5-0{,}621\approx 1{,}88\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}.

Passo 8

Calcular a massa total de produto formada em 45 dias (lembre que formação no reator 1 é desprezível, então consideramos apenas o reator 2).
  • A taxa volumétrica de produto no reator 2 é r_{P}=0{,}30\\ \mathrm{gP}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{h}^{-1}.
  • A taxa total de produção (massa por tempo) é
\dot{m}_{P}=r_{P}\,V_{2}=0{,}30\cdot 714=214{,}2\\ \mathrm{gP}\,\mathrm{h}^{-1}.
  • 45 dias \Rightarrow tempo t=45\cdot 24=1080\\ \mathrm{h}. Então a massa total produzida é
M_{P}=\dot{m}_{P}\,t=214{,}2\cdot 1080=231\,336\\ \mathrm{g}=231{,}336\\ \mathrm{kg}.
(Arredondando de forma prática, \approx 231{,}3\\ \mathrm{kg}.)

Resposta

(a) X_{1}=3{,}75\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1},\;S_{1}=2{,}5\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}
(b) M_{P}=231{,}336\\ \mathrm{kg} (aprox. 231{,}3\\ \mathrm{kg})
(c) S_{2}=1{,}88\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}

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