18- Pseudomonas sp. tem um tempo de duplicação de 2,4 horas quando cresce em acetato. A constante de saturação de Monod usando este substrato é de 1,3 \mathrm{~g} / \mathrm{L} e o fator de conversão células-acetato é 0,46 \mathrm{gX} / \mathrm{gS}. Opera-se um biorreator do tipo CSTR para produzir Pseudomonas \mathrm{sp} ., sendo que a alimentação do biorreator contém 38 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de acetato, além de outros nutrientes necessários. Pede-se a concentração de células no biorreator quando a velocidade de diluição (vazão específica de alimentação) for a metade da máxima e a produtividade em células quando a velocidade de diluição for 80 \% da máxima.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • A concentração de células no reator (em gX/L) quando a velocidade de diluição D for a metade da máxima.
  • A produtividade em células (em gX/(L·h)) quando a velocidade de diluição D for 80\% da máxima.
Dados fornecidos (vou listar tudo em forma matemática):
\text{tempo de duplicação } t_d = 2,4\\ \mathrm{h}çã
K_s = 1,3\\ \mathrm{g/L}
Y = 0,46\\ \mathrm{gX/gS}
S_{in} = 38\\ \mathrm{g/L}
Não há figura nem tabela adicional. A partir desses dados teremos que calcular a taxa máxima de crescimento e aplicar o balanço de massa para um CSTR em regime permanente.

Passo 2

Primeiro precisamos do valor da taxa de crescimento máxima \mu_{\max}. A relação entre tempo de duplicação t_d (doubling time) e a taxa específica \mu é
\mu = \frac{\ln 2}{t_d}.
Aqui usamos t_d=2,4\\ \mathrm{h}, então
\mu_{\max}=\frac{\ln 2}{2,4}.
Agora calculamos numericamente:
\mu_{\max}=\frac{0{,}693147\ldots}{2{,}4}\approx 0{,}288811\\ \mathrm{h^{-1}}.
(Arredondando para bom uso prático, \mu_{\max}\approx 0{,}289\\ \mathrm{h^{-1}}.)
Explicação didática rápida: \mu_{\max} é a taxa máxima de crescimento específica da população quando substrato não é limitante. A unidade é \mathrm{h^{-1}} e significa a fração de biomassa que se forma por hora.

Passo 3

Agora lembramos a cinética de Monod e os balanços do CSTR em regime permanente (steady state), sem manutenção:
  • Equação de Monod:
\mu(S)=\mu_{\max}\frac{S}{K_s+S},
onde S é a concentração de substrato no reator, K_s é a constante de saturação e \mu(S) é a taxa específica àquela S.
  • No CSTR em regime permanente a equação de balanço de biomassa dá \mu X = D X (ou seja, \mu = D para solução com X\neq 0). Isso significa que, no estado estacionário, a taxa específica de crescimento ajusta-se ao valor do diluição D (desde que D<\mu_{\max}, caso contrário ocorre washout).
Substituindo \mu = D na expressão de Monod e resolvendo para S:
D=\mu_{\max}\frac{S}{K_s+S}\quad\Longrightarrow\quad S=\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}.
Explicação do passo: isolamos S multiplicando ambos os lados por K_s+S e rearranjando.
  • Balanço de substrato em regime permanente (desprezando manutenção):
D(S_{in}-S)=\frac{\mu}{Y}X.
Usando \mu=D obtemos
X=Y\bigl(S_{in}-S\bigr).
Isto tem uma interpretação clara: o consumo de substrato por unidade de volume que entra no reator se converte em biomassa com rendimento Y; como a vazão renova o meio a vazão líquida de substrato consumido é D(S_{in}-S) e isso equivale à produção de biomassa por volume.

Passo 4

Aqui tomamos
D=\tfrac{1}{2}\mu_{\max}.
Calculemos numericamente:
D=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}288811\\ \mathrm{h^{-1}}=0{,}1444055\\ \mathrm{h^{-1}}.
Agora usamos a fórmula de S:
S=\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}.
Como D=\tfrac{1}{2}\mu_{\max} temos \mu_{\max}-D=\tfrac{1}{2}\mu_{\max}, então
S=\frac{K_s\cdot (\tfrac{1}{2}\mu_{\max})}{\tfrac{1}{2}\mu_{\max}}=K_s.
Portanto, para D=\tfrac{1}{2}\mu_{\max} o S em regime permanente é exatamente K_s. Isto é um resultado prático útil: quando D=\mu_{\max}/2 o substrato residual no reator vale K_s.
Agora a concentração de biomassa:
X=Y\bigl(S_{in}-S\bigr)=Y\bigl(S_{in}-K_s\bigr).
Substituindo números:
X=0{,}46\cdot(38-1{,}3)=0{,}46\cdot 36{,}7.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
36{,}7\times 0{,}46 = 36{,}7\times\frac{46}{100}=\frac{36{,}7\times 46}{100}.
36{,}7\times 46 = 36{,}7\times(40+6)=36{,}7\times 40 + 36{,}7\times 6 = 1468 + 220{,}2 = 1688{,}2.
Dividindo por 100:
X= \frac{1688{,}2}{100}=16{,}882\\ \mathrm{gX/L}.
Arredondando razoavelmente: X\approx 16{,}88\\ \mathrm{gX/L}.
Interpretação rápida: com essa diluição média os microrganismos consomem quase todo o acetato de entrada, sobrando apenas K_s no reator, e a biomassa fica ~ 16{,}9\\ \mathrm{gX/L}.

Passo 5

Agora tomamos
D=0{,}8\mu_{\max}=0{,}8\times 0{,}288811\\ \mathrm{h^{-1}}.
D\approx 0{,}231049\\ \mathrm{h^{-1}}.
Calculamos S com a fórmula
S=\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}.
Substituindo numericamente:
S=\frac{1{,}3\times 0{,}231049}{0{,}288811-0{,}231049}.
Calculemos passo a passo:
1{,}3\times 0{,}231049=0{,}3003637.
0{,}288811-0{,}231049=0{,}057762.
S=\frac{0{,}3003637}{0{,}057762}\approx 5{,}20294\\ \mathrm{g/L}.
Agora a biomassa no reator:
X=Y(S_{in}-S)=0{,}46\cdot(38-5{,}20294)=0{,}46\cdot 32{,}79706.
X\approx 15{,}08665\\ \mathrm{gX/L}.
Finalmente a produtividade em células P (taxa de saída de biomassa por volume) é
P = D\cdot X.
Substituindo:
P=0{,}231049\times 15{,}08665\approx 3{,}48575\\ \mathrm{gX/(L\cdot h)}.
Interpretação: aumentando D para 80\% de \mu_{\max} a concentração de biomassa cai um pouco (porque sobra mais substrato residual) mas como D é maior, a produtividade P=D X fica em torno de 3{,}486\\ \mathrm{gX/(L\cdot h)}. Note que se D se aproximasse demais de \mu_{\max} haveria risco de washout ( D\ge\mu_{\max} ), mas 0{,}8\mu_{\max} está seguro.

Resposta

16{,}882\\ \mathrm{gX/L}
3{,}48575\\ \mathrm{gX/(L\cdot h)}

Exercícios relacionados