18- Pseudomonas sp. tem um tempo de duplicação de 2,4 horas quando cresce em acetato. A constante de saturação de Monod usando este substrato é de
e o fator de conversão células-acetato é
. Opera-se um biorreator do tipo CSTR para produzir Pseudomonas
, sendo que a alimentação do biorreator contém
de acetato, além de outros nutrientes necessários. Pede-se a concentração de células no biorreator quando a velocidade de diluição (vazão específica de alimentação) for a metade da máxima e a produtividade em células quando a velocidade de diluição for
da máxima.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- A concentração de células no reator (em gX/L) quando a velocidade de diluição
for a metade da máxima. - A produtividade em células (em gX/(L·h)) quando a velocidade de diluição
for da máxima.
Dados fornecidos (vou listar tudo em forma matemática):
Não há figura nem tabela adicional. A partir desses dados teremos que calcular a taxa máxima de crescimento e aplicar o balanço de massa para um CSTR em regime permanente.
Passo 2
Primeiro precisamos do valor da taxa de crescimento máxima
. A relação entre tempo de duplicação
(doubling time) e a taxa específica
é
Aqui usamos
, então
Agora calculamos numericamente:
(Arredondando para bom uso prático,
.)
Explicação didática rápida:
é a taxa máxima de crescimento específica da população quando substrato não é limitante. A unidade é
e significa a fração de biomassa que se forma por hora.
Passo 3
Agora lembramos a cinética de Monod e os balanços do CSTR em regime permanente (steady state), sem manutenção:
- Equação de Monod:
onde
é a concentração de substrato no reator,
é a constante de saturação e
é a taxa específica àquela
.
- No CSTR em regime permanente a equação de balanço de biomassa dá
(ou seja, para solução com ). Isso significa que, no estado estacionário, a taxa específica de crescimento ajusta-se ao valor do diluição (desde que , caso contrário ocorre washout).
Substituindo
na expressão de Monod e resolvendo para
:
Explicação do passo: isolamos
multiplicando ambos os lados por
e rearranjando.
- Balanço de substrato em regime permanente (desprezando manutenção):
Usando
obtemos
Isto tem uma interpretação clara: o consumo de substrato por unidade de volume que entra no reator se converte em biomassa com rendimento
; como a vazão renova o meio a vazão líquida de substrato consumido é
e isso equivale à produção de biomassa por volume.
Passo 4
Aqui tomamos
Calculemos numericamente:
Agora usamos a fórmula de
:
Como
temos
, então
Portanto, para
o
em regime permanente é exatamente
. Isto é um resultado prático útil: quando
o substrato residual no reator vale
.
Agora a concentração de biomassa:
Substituindo números:
Fazendo a multiplicação passo a passo:
Dividindo por
:
Arredondando razoavelmente:
.
Interpretação rápida: com essa diluição média os microrganismos consomem quase todo o acetato de entrada, sobrando apenas
no reator, e a biomassa fica ~
.
Passo 5
Agora tomamos
Calculamos
com a fórmula
Substituindo numericamente:
Calculemos passo a passo:
Agora a biomassa no reator:
Finalmente a produtividade em células
(taxa de saída de biomassa por volume) é
Substituindo:
Interpretação: aumentando
para
de
a concentração de biomassa cai um pouco (porque sobra mais substrato residual) mas como
é maior, a produtividade
fica em torno de
. Note que se
se aproximasse demais de
haveria risco de washout (
), mas
está seguro.