16- Uma água residuária com concentração de matéria orgânica de 200 mg DQO/L será tratada aerobicamente em um reator CSTR sem reciclo. A DQO do efluente deverá ser de, no máximo, 20 mg DQO/L ao final do processo. Determine o tempo de retenção celular e a concentração de célula à saída do reator. Dados típicos para lodo ativado: \mathrm{K}_{\mathrm{s}}=40 \mathrm{mg} DQO/L, \mathrm{k}_{\mathrm{d}}=0,06 \mathrm{~d}^{-1}
\mathrm{Y}_{\mathrm{x} / \mathrm{s}}=0,4 \mathrm{mg} \mathrm{SSV} / \mathrm{mg} \text { DQO, } \mathrm{k}=\frac{\mu_{\text {máx }}}{\mathrm{Y}_{\mathrm{x} / \mathrm{s}}}=5,0 \mathrm{mg} \text { DQO } / \mathrm{mg} \mathrm{SSV} . \mathrm{d} .á

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar o tempo de retenção celular (idade do lodo, \theta) do reator.
  2. Determinar a concentração de células (lodo, X) na saída do reator.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
S_0=200\\ \text{mg DQO/L},\qquad S=20\\ \text{mg DQO/L}
K_s=40\\ \text{mg DQO/L},\qquad k_d=0,06\\ \text{d}^{-1}
Y_{x/s}=0,4\\ \text{mg SSV}/\text{mg DQO},\qquad k=\frac{\mu_{\text{máx}}}{Y_{x/s}}=5,0\\ \text{(unidade fornecida)}á
Observações importantes (do enunciado):
  • O reator é um CSTR sem reciclo (ou seja, não há retorno de lodo). Isso implica que a idade do lodo (SRT) coincide com o tempo hidráulico de retenção do sistema, porque o lodo sai junto com o efluente.
  • O objetivo é que no efluente S=20\\ \text{mg DQO/L}.
  • Devemos usar dados típicos de lodo ativado fornecidos.
A partir daqui vou usar esses dados para montar as contas passo a passo.

Passo 2

Primeira etapa intermediária: calcular \mu_{\text{máx}}á a partir do dado k=\dfrac{\mu_{\text{máx}}}{Y_{x/s}}á.
Explicação curta do que é cada coisa:
  • \mu_{\text{máx}}á é a taxa específica máxima de crescimento das células (unidade \text{d}^{-1}).
  • Y_{x/s} é o rendimento de biomassa por unidade de substrato consumido (aqui: mg SSV gerado por mg DQO consumida).
  • k aqui foi dado como \dfrac{\mu_{\text{máx}}}{Y_{x/s}}á, então podemos obter \mu_{\text{máx}}á multiplicando k por Y_{x/s}.
Cálculo:
\mu_{\text{máx}} = k \cdot Y_{x/s} = 5,0 \cdot 0,4 = 2,0\\ \text{d}^{-1}.á

Passo 3

Agora precisamos da taxa específica de crescimento no estado estacionário, \mu, correspondente à concentração de substrato no efluente S=20\\ \text{mg/L}. Usamos a cinética de Monod (explicação a seguir).
Breve explicação da lei de Monod:
  • A velocidade específica de crescimento depende da concentração de substrato como
\mu = \mu_{\text{máx}} \frac{S}{K_s + S}.á
  • Aqui S é a concentração de substrato disponível (mg DQO/L), K_s é a constante de meia saturação (mg DQO/L) — quanto menor K_s, mais eficiente a microflora em baixas concentrações.
Aplicando com os valores:
\mu = 2,0 \cdot \frac{20}{40 + 20} = 2,0 \cdot \frac{20}{60} = 2,0 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\ \text{d}^{-1} \approx 0,6667\\ \text{d}^{-1}.

Passo 4

Derivar a expressão do tempo de retenção celular \theta a partir do balanço de biomassa no CSTR (explicação e dedução).
Explicação do balanço de biomassa:
  • Para o lodo no reator em regime permanente, as variações são nulas, então o balanço de biomassa é:
\frac{dX}{dt} = (\mu - k_d)X - \frac{X}{\theta} = 0,
onde:
  • X é a concentração de biomassa no reator (mg SSV/L),
  • \mu é a taxa específica de crescimento (d^{-1}),
  • k_d é a taxa de decaimento (d^{-1}),
  • \dfrac{X}{\theta} é a perda por lavagem (saída de biomassa no efluente), com \theta sendo o tempo de retenção hidráulico (aqui igual ao tempo de retenção celular porque não há reciclo).
A partir da equação acima, isolamos \theta:
(\mu - k_d)X = \frac{X}{\theta} \quad\Rightarrow\quad \mu - k_d = \frac{1}{\theta}
\therefore \theta = \frac{1}{\mu - k_d}.

Passo 5

Calcular numericamente \theta com \mu e k_d obtidos.
Substituindo os valores:
\theta = \frac{1}{\dfrac{2}{3} - 0,06} = \frac{1}{0,666666\ldots - 0,06} = \frac{1}{0,606666\ldots}
\theta \approx 1,64835\\ \text{d} \approx 1,65\\ \text{d}.
Interpretação curta e incentivo: isso significa que, sem reciclo, o reator precisa manter as células cerca de 1,65 dias em média para alcançar a remoção desejada até 20\\ \text{mg DQO/L}. Tá indo bem — números coerentes com sistemas de lodo ativado de pequena escala.

Passo 6

Agora determinamos a concentração de células X no reator (que é a concentração na saída, já que é CSTR sem reciclo).
Montagem do balanço de substrato (explicação e dedução):
  • Balanço de substrato, em regime estacionário, para um CSTR:
\frac{S_0 - S}{\theta} = \text{taxa de consumo de substrato por unidade de volume}.
  • A taxa de consumo por volume, assumindo que o substrato é consumido para crescimento, é dada por
\text{consumo} = \frac{\mu}{Y_{x/s}} X,
porque a biomassa cresce com taxa \mu X e para cada mg de biomassa produzida são consumidos 1/Y_{x/s} mg de substrato.
  • Assim:
\frac{S_0 - S}{\theta} = \frac{\mu}{Y_{x/s}} X.
Isolando X:
X = Y_{x/s}\, \frac{S_0 - S}{\mu\theta}.
Agora usamos a relação já encontrada entre \theta e \mu:
\theta = \frac{1}{\mu - k_d} \quad\Rightarrow\quad \mu\theta = \frac{\mu}{\mu - k_d}.
Logo,
X = Y_{x/s}\,(S_0 - S)\,\frac{\mu - k_d}{\mu} = Y_{x/s}\,(S_0 - S)\left(1 - \frac{k_d}{\mu}\right).
Comentário sobre hipótese: aqui considerei que o decaimento não gera imediatamente substrato mensurável que compense o consumo — essa é a formulação usual para exercícios didáticos e a que o enunciado espera quando fornece k_d para balanço de biomassas.

Passo 7

Substituir numericamente para obter X.
Valores:
Y_{x/s}=0,4,\qquad S_0-S = 200 - 20 = 180\\ \text{mg/L},
\mu=\frac{2}{3}\\ \text{d}^{-1},\qquad k_d=0,06\\ \text{d}^{-1}.
Calcule o fator \left(1-\dfrac{k_d}{\mu}\right):
1 - \frac{k_d}{\mu} = 1 - \frac{0,06}{2/3} = 1 - \frac{0,06}{0,666666\ldots} = 1 - 0,09 = 0,91.
Agora X:
X = 0,4 \cdot 180 \cdot 0,91 = 72 \cdot 0,91 = 65,52\\ \text{mg SSV}/\text{L}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas para \theta, uma para X é aceitável aqui):
X \approx 65,5\\ \text{mg SSV}/\text{L}.

Resposta

\theta \approx 1,65\\ \text{d}
X \approx 65,5\\ \text{mg SSV}/\text{L}

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