15- A produção em anaerobiose de etanol por Sacharomyces cerevisiae é associada ao crescimento da levedura. A cinética de crescimento da levedura em estado estacionário segue o modelo de inibição de produto, como proposto por Aiba, descrito abaixo. Produz-se etanol em um fermentador tipo CSTR ideal de 10 m 3 , alimentado por uma solução de 50 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de glicose. A vazão de alimentação é de 400 \mathrm{~L} / \mathrm{h}. Quais as concentrações de biomassa, glicose e etanol à saída do fermentador? Dados: \mu_{\text {máx }}=0,1 \mathrm{~h}^{-1} ; \mathrm{K}_{\mathrm{s}}=0,5 \mathrm{~g} / \mathrm{L} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{x} / \mathrm{s}}=0,15 \mathrm{~g} / \mathrm{g}á e \mathrm{Y}_{\mathrm{p} / \mathrm{s}}=0,45 \mathrm{~g} / \mathrm{g}, \mathrm{k}_{\mathrm{p}}=18 \mathrm{~g} / \mathrm{L}.
\mu=\mu_{\text {máx }} \cdot \frac{S}{S+K_{S}} \cdot \frac{k_{p}}{k_{p}+P}á

Passo 1

O enunciado pede as concentrações à saída do fermentador (estado estacionário) de três grandezas: biomassa, glicose e etanol. Dados e condições fornecidos (copiados do enunciado):
\displaystyle V=10\\ \mathrm{m^{3}}=10\,000\\ \mathrm{L}
\displaystyle S_f=50\\ \mathrm{g/L} (concentração de glicose na alimentação)
\displaystyle F=400\\ \mathrm{L/h} (vazão de alimentação)
\displaystyle \mu_{\text{máx}}=0,1\\ \mathrm{h^{-1}}á
\displaystyle K_S=0,5\\ \mathrm{g/L}
\displaystyle Y_{x/s}=0,15\\ \mathrm{g\\ biomass/g\\ substrate}
\displaystyle Y_{p/s}=0,45\\ \mathrm{g\\ product/g\\ substrate}
\displaystyle k_p=18\\ \mathrm{g/L}
Lei cinética (Aiba, inibição por produto):
\displaystyle \mu=\mu_{\text{máx}}\cdot\frac{S}{S+K_S}\cdot\frac{k_p}{k_p+P}á
Objetivo final: encontrar as concentrações de saída X (biomassa, em \mathrm{g/L}), S (glicose, em \mathrm{g/L}) e P (etanol, em \mathrm{g/L}).

Passo 2

Calcular a vazão específica (taxa de diluição) do CSTR e a condição de estado estacionário para biomassa.
Definição da taxa de diluição:
\displaystyle D=\frac{F}{V}.
Substituindo os valores:
\displaystyle D=\frac{400\\ \mathrm{L/h}}{10\,000\\ \mathrm{L}}=0,04\\ \mathrm{h^{-1}}.
Equilíbrio de biomassa em estado estacionário (sem biomassa na alimentação): balanço de biomassa dá
\displaystyle (\mu-D)X=0.
Para manter biomassa não nula devemos ter
\displaystyle \mu=D=0,04\\ \mathrm{h^{-1}}.
Isso é crucial: o crescimento específico no reator em regime permanente iguala a diluição.

Passo 3

Entender e relacionar as equações de balanço de substrato e produto com os rendimentos.
  • Crescimento específico: \mu (já dado pela fórmula de Aiba).
  • Taxa de consumo de substrato por volume: \displaystyle r_s=\frac{\mu X}{Y_{x/s}}. Isso vem de que a taxa de crescimento volumétrica é \mu X (g/L·h) e, usando rendimento Y_{x/s}, cada grama de biomassa consome 1/Y_{x/s} gramas de substrato.
  • Balanço de substrato em regime estacionário (entrada, saída e consumo):
\displaystyle D(S_f-S)=r_s=\frac{\mu X}{Y_{x/s}}.
  • Taxa de formação de produto por volume: \displaystyle r_p=r_s\cdot Y_{p/s}=\frac{\mu X}{Y_{x/s}}\cdot Y_{p/s}=\mu X\cdot\frac{Y_{p/s}}{Y_{x/s}}.
  • Balanço de produto (assumindo alimentação sem produto):
\displaystyle D P = r_p=\mu X\cdot\frac{Y_{p/s}}{Y_{x/s}}.

Passo 4

Simplificar as equações usando \mu=D (Passo 2) para obter relações diretas entre X, P e S.
Partindo do balanço de substrato:
\displaystyle D(S_f-S)=\frac{\mu X}{Y_{x/s}}.
Como \mu=D, podemos simplificar D dos dois lados:
\displaystyle S_f-S=\frac{X}{Y_{x/s}}.
Isolando X:
\displaystyle X=Y_{x/s}\,(S_f-S).
Agora o balanço de produto:
\displaystyle D P=\mu X\cdot\frac{Y_{p/s}}{Y_{x/s}}.
Com \mu=D obtemos:
\displaystyle P = X\cdot\frac{Y_{p/s}}{Y_{x/s}}.
Substituindo X=Y_{x/s}\,(S_f-S):
\displaystyle P = Y_{x/s}\,(S_f-S)\cdot\frac{Y_{p/s}}{Y_{x/s}} = Y_{p/s}\,(S_f-S).
Portanto temos duas expressões úteis (relacionam X e P a S):
\displaystyle X=Y_{x/s}\,(S_f-S)
\displaystyle P=Y_{p/s}\,(S_f-S).
Essas expressões fazem sentido físico: o consumo (S_f-S) gera biomassa e produto proporcionalmente aos rendimentos.

Passo 5

Usar a expressão de \mu (Aiba) junto com P=Y_{p/s}(S_f-S) e a condição \mu=D para obter uma equação só em S.
A condição \mu=D e a lei de Aiba:
\displaystyle D=\mu_{\text{máx}}\cdot\frac{S}{S+K_S}\cdot\frac{k_p}{k_p+P}.á
Substituindo P=Y_{p/s}(S_f-S):
\displaystyle D=\mu_{\text{máx}}\cdot\frac{S}{S+K_S}\cdot\frac{k_p}{k_p+Y_{p/s}(S_f-S)}.á
Agora colocamos os valores numéricos conhecidos para obter uma equação numérica em S:
\displaystyle 0,04=0,1\cdot\frac{S}{S+0,5}\cdot\frac{18}{18+0,45(50-S)}.
Para facilitar a resolução, isolamos e simplificamos passo a passo. Primeiro divida ambos os lados por 0,1:
\displaystyle \frac{S}{S+0,5}\cdot\frac{18}{18+0,45(50-S)}=0,4.
Multiplicando ambos os lados por (S+0,5)\big(18+0,45(50-S)\big):
\displaystyle 18S=0,4\,(S+0,5)\big(18+0,45(50-S)\big).
Desenvolvendo o lado direito: calcule \;18+0,45(50-S)=18+22,5-0,45S=40,5-0,45S. Então
\displaystyle 18S=0,4\,(S+0,5)(40,5-0,45S).
Expandindo (S+0,5)(40,5-0,45S):
\displaystyle (S+0,5)(40,5-0,45S)=40,275S-0,45S^2+20,25.
Multiplicando por 0,4 obtemos:
\displaystyle 16,11S-0,18S^2+8,1.
Portanto a equação fica:
\displaystyle 18S=16,11S-0,18S^2+8,1.
Rearranjando termos para formar uma quadrática:
\displaystyle -0,18S^2-1,89S+8,1=0.
Multiplicando por -1:
\displaystyle 0,18S^2+1,89S-8,1=0.
Multiplicando por 100 para ficar com inteiros:
\displaystyle 18S^2+189S-810=0.
Dividindo por 9:
\displaystyle 2S^2+21S-90=0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática \displaystyle 2S^2+21S-90=0 usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
Discriminante:
\displaystyle \Delta=21^2-4\cdot2\cdot(-90)=441+720=1161.
Raiz do discriminante:
\displaystyle \sqrt{\Delta}=\sqrt{1161}\approx 34{,}082.
Soluções:
\displaystyle S=\frac{-21\pm\sqrt{1161}}{2\cdot2}=\frac{-21\pm34{,}082}{4}.
Duas raízes:
\displaystyle S_1=\frac{-21+34{,}082}{4}\approx\frac{13{,}082}{4}\approx3{,}2705\\ \mathrm{g/L},
\displaystyle S_2=\frac{-21-34{,}082}{4}\approx\frac{-55{,}082}{4}\approx-13{,}7705\\ \mathrm{g/L}.
Rejeitamos a raiz negativa (concentração física não pode ser negativa). Portanto:
\displaystyle S\approx3{,}2705\\ \mathrm{g/L}.

Passo 7

Calcular X e P a partir das fórmulas do Passo 4 e do valor numérico de S.
Recordando:
\displaystyle X=Y_{x/s}(S_f-S),
\displaystyle P=Y_{p/s}(S_f-S).
Calcule o consumo de substrato (S_f-S):
\displaystyle S_f-S=50-3{,}2705=46{,}7295\\ \mathrm{g/L}.
Agora X:
\displaystyle X=0{,}15\cdot46{,}7295=7{,}009425\\ \mathrm{g/L}\approx7{,}01\\ \mathrm{g/L}.
Agora P:
\displaystyle P=0{,}45\cdot46{,}7295=21{,}028275\\ \mathrm{g/L}\approx21{,}03\\ \mathrm{g/L}.
(Faz sentido físico: concentração de etanol positiva e razoável; biomassa também.)

Passo 8

Verificação rápida: calcular \mu pela expressão de Aiba com os valores obtidos para garantir que \mu\approx D.
Compute P e S já temos; calcule o fator de substrato:
\displaystyle \frac{S}{S+K_S}=\frac{3{,}2705}{3{,}2705+0{,}5}=\frac{3{,}2705}{3{,}7705}\approx0{,}867.
Fator de inibição por produto:
\displaystyle \frac{k_p}{k_p+P}=\frac{18}{18+21{,}0283}=\frac{18}{39{,}0283}\approx0{,}461.
Produto total:
\displaystyle \mu_{\text{máx}}\cdot0{,}867\cdot0{,}461\approx0{,}1\cdot0{,}399\approx0{,}0399\\ \mathrm{h^{-1}},á
que é muito próximo de D=0{,}04\\ \mathrm{h^{-1}}. Pequenas diferenças se devem a arredondamentos — a verificação confirma a consistência.

Resposta

\displaystyle X\approx7{,}01\\ \mathrm{g/L}
\displaystyle S\approx3{,}27\\ \mathrm{g/L}
\displaystyle P\approx21{,}03\\ \mathrm{g/L}

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