15- A produção em anaerobiose de etanol por Sacharomyces cerevisiae é associada ao crescimento da levedura. A cinética de crescimento da levedura em estado estacionário segue o modelo de inibição de produto, como proposto por Aiba, descrito abaixo. Produz-se etanol em um fermentador tipo CSTR ideal de 10 m 3 , alimentado por uma solução de
de glicose. A vazão de alimentação é de
. Quais as concentrações de biomassa, glicose e etanol à saída do fermentador? Dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede as concentrações à saída do fermentador (estado estacionário) de três grandezas: biomassa, glicose e etanol. Dados e condições fornecidos (copiados do enunciado):
Lei cinética (Aiba, inibição por produto):
Objetivo final: encontrar as concentrações de saída
(biomassa, em
),
(glicose, em
) e
(etanol, em
).
Passo 2
Calcular a vazão específica (taxa de diluição) do CSTR e a condição de estado estacionário para biomassa.
Definição da taxa de diluição:
Substituindo os valores:
Equilíbrio de biomassa em estado estacionário (sem biomassa na alimentação): balanço de biomassa dá
Para manter biomassa não nula devemos ter
Isso é crucial: o crescimento específico no reator em regime permanente iguala a diluição.
Passo 3
Entender e relacionar as equações de balanço de substrato e produto com os rendimentos.
- Crescimento específico:
(já dado pela fórmula de Aiba). - Taxa de consumo de substrato por volume:
. Isso vem de que a taxa de crescimento volumétrica é (g/L·h) e, usando rendimento , cada grama de biomassa consome gramas de substrato. - Balanço de substrato em regime estacionário (entrada, saída e consumo):
- Taxa de formação de produto por volume:
- Balanço de produto (assumindo alimentação sem produto):
Passo 4
Simplificar as equações usando
(Passo 2) para obter relações diretas entre
,
e
.
Partindo do balanço de substrato:
Como
, podemos simplificar
dos dois lados:
Isolando
:
Agora o balanço de produto:
Com
obtemos:
Substituindo
:
Portanto temos duas expressões úteis (relacionam
e
a
):
Essas expressões fazem sentido físico: o consumo
gera biomassa e produto proporcionalmente aos rendimentos.
Passo 5
Usar a expressão de
(Aiba) junto com
e a condição
para obter uma equação só em
.
A condição
e a lei de Aiba:
Substituindo
:
Agora colocamos os valores numéricos conhecidos para obter uma equação numérica em
:
Para facilitar a resolução, isolamos e simplificamos passo a passo. Primeiro divida ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Desenvolvendo o lado direito: calcule
. Então
Expandindo
:
Multiplicando por
obtemos:
Portanto a equação fica:
Rearranjando termos para formar uma quadrática:
Multiplicando por
:
Multiplicando por
para ficar com inteiros:
Dividindo por
:
Passo 6
Resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
Discriminante:
Raiz do discriminante:
Soluções:
Duas raízes:
Rejeitamos a raiz negativa (concentração física não pode ser negativa). Portanto:
Passo 7
Calcular
e
a partir das fórmulas do Passo 4 e do valor numérico de
.
Recordando:
Calcule o consumo de substrato
:
Agora
:
Agora
:
(Faz sentido físico: concentração de etanol positiva e razoável; biomassa também.)
Passo 8
Verificação rápida: calcular
pela expressão de Aiba com os valores obtidos para garantir que
.
Compute
e
já temos; calcule o fator de substrato:
Fator de inibição por produto:
Produto total:
que é muito próximo de
. Pequenas diferenças se devem a arredondamentos — a verificação confirma a consistência.