Sm 17 Dois submarinos, A e B, movem-se um na direção do outro. As velocidades dos submarinos em relação à água são v_{A}=70,00 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e v_{B}= 50,00 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. O submarino B envia um sinal de sonar (onda sonora na água) com frequência de 1015 Hz . Sendo a velocidade do som na água igual a 5470 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, determine: (a) a frequência do sinal detectado pelo submarino A; (b) a frequência do eco do submarino A detectada pelo submarino B.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • velocidade do som na água: v=5470\\ \text{km/h};
    • velocidade do submarino A em relação à água: v_{A}=70,00\\ \text{km/h} (movendo-se em direção a B);
    • velocidade do submarino B em relação à água: v_{B}=50,00\\ \text{km/h} (movendo-se em direção a A);
    • frequência emitida por B: f_{0}=1015\\ \text{Hz}.
  • O enunciado pede:
    (a) a frequência do sinal detectado pelo submarino A (isto é, a frequência que A ouve quando B emite f_{0});
    (b) a frequência do eco do submarino A detectada pelo submarino B (isto é, B envia f_{0}, isso é refletido por A e B mede a frequência do som refletido).

Passo 2

Breve explicação didática do efeito Doppler para ondas sonoras em um meio (aqui a água) — fórmula e significado das variáveis.
  • Quando a fonte e/ou o observador se movem em relação ao meio, a frequência percebida muda pelo efeito Doppler. Para ondas sonoras num meio estacionário a fórmula geral (com sinais escolhidos de forma consistente) é
f_{\text{obs}}=\frac{v+v_{\text{obs}}}{v-v_{\text{src}}}\,f_{\text{src}},
onde:
  • v é a velocidade da onda no meio (aqui 5470\\ \text{km/h});
  • v_{\text{obs}} é a velocidade do observador em relação ao meio; tomar v_{\text{obs}}>0 se o observador se aproxima da fonte (aumenta a frequência percebida);
  • v_{\text{src}} é a velocidade da fonte em relação ao meio; tomar v_{\text{src}}>0 se a fonte se aproxima do observador (também aumenta a frequência emitida em relação ao meio);
  • f_{\text{src}} é a frequência emitida pela fonte (no referencial do meio).
  • Intuição curta: o numerador v+v_{\text{obs}} aumenta a taxa com que frentes de onda chegam ao observador quando ele se aproxima; o denominador v-v_{\text{src}} representa que a fonte, ao se aproximar, “encurta” o espaçamento entre frentes de onda no meio, produzindo maior frequência no meio.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao item (a): frequência que A detecta quando B emite f_{0}.
  • Aqui:
    • observador é A com v_{\text{obs}}=v_{A}=70{,}00\\ \text{km/h} (aproxima-se da fonte);
    • fonte é B com v_{\text{src}}=v_{B}=50{,}00\\ \text{km/h} (aproxima-se do observador);
    • f_{\text{src}}=f_{0}=1015\\ \text{Hz}.
  • Usando a fórmula:
f_{A}=\frac{v+v_{A}}{v-v_{B}}\,f_{0}.

Passo 4

Cálculo numérico de (a), mostrando simplificações exatas quando possível.
  • Substituindo os números:
f_{A}=\frac{5470+70}{5470-50}\cdot 1015=\frac{5540}{5420}\cdot 1015.
  • Simplificando a fração \dfrac{5540}{5420}=\dfrac{277}{271} (dividindo numerador e denominador por 20).
  • Portanto
f_{A}=1015\cdot\frac{277}{271}=\frac{1015\cdot277}{271}=\frac{281155}{271}\\ \text{Hz}.
  • Fazendo a divisão:
f_{A}\approx1037{,}46\\ \text{Hz}.
(Arredondei para duas casas decimais; a precisão é compatível com dados dados.)

Passo 5

Explicação didática do item (b): como tratar o eco de A que volta para B.
  • Quando A reflete o som, a superfície de A vibra na frequência que ela “ouve” ( f_{A}). Assim, a reflexão pode ser tratada como se A fosse uma fonte que emite ondas com frequência f_{A} em relação ao seu próprio referencial. Essas ondas, porém, propagam-se no meio, e A está em movimento em relação ao meio, logo a emissão é tratada como emissão por uma fonte móvel.
  • O receptor agora é B, que também está em movimento na direção do emissor refletor. Portanto aplicamos novamente a fórmula geral do Doppler, agora com:
    • f_{\text{src}}=f_{A} (frequência “emitida” por A, isto é, a frequência do movimento da superfície após receber o pulso);
    • v_{\text{src}}=v_{A}=70{,}00\\ \text{km/h} (fonte móvel, aproximando-se de B);
    • v_{\text{obs}}=v_{B}=50{,}00\\ \text{km/h} (observador B, aproximando-se de A).
  • Assim, a frequência do eco detectada por B é
f_{\text{eco}}=\frac{v+v_{B}}{v-v_{A}}\,f_{A}.
  • Substituindo f_{A} obtido no item (a) resulta em um produto de dois fatores Doppler:
f_{\text{eco}}=\frac{v+v_{B}}{v-v_{A}}\cdot\frac{v+v_{A}}{v-v_{B}}\,f_{0}.

Passo 6

Cálculo numérico de (b) com simplificações exatas quando possível.
  • Escrevendo os números:
f_{\text{eco}}=\frac{5470+50}{5470-70}\cdot\frac{5470+70}{5470-50}\cdot 1015 =\frac{5520}{5400}\cdot\frac{5540}{5420}\cdot 1015.
  • Simplificações:
    • \dfrac{5520}{5400}=\dfrac{46}{45} (dividindo por 120);
    • \dfrac{5540}{5420}=\dfrac{277}{271} (dividindo por 20).
  • Produto das frações:
\frac{46}{45}\cdot\frac{277}{271}=\frac{12742}{12195}.
  • Assim
f_{\text{eco}}=1015\cdot\frac{12742}{12195}=\frac{1015\cdot12742}{12195}.
  • Fazendo a conta:
f_{\text{eco}}\approx1060{,}50\\ \text{Hz}.
(Arredondei para duas casas decimais.)

Resposta

f_{A}\approx1037{,}46\\ \text{Hz}
f_{\text{eco}}\approx1060{,}50\\ \text{Hz}

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