Sm 17 Dois submarinos, A e B, movem-se um na direção do outro. As velocidades dos submarinos em relação à água são
e
. O submarino B envia um sinal de sonar (onda sonora na água) com frequência de 1015 Hz . Sendo a velocidade do som na água igual a
, determine: (a) a frequência do sinal detectado pelo submarino A; (b) a frequência do eco do submarino A detectada pelo submarino B.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados que peguei do enunciado:
- velocidade do som na água:
; - velocidade do submarino
em relação à água: (movendo-se em direção a ); - velocidade do submarino
em relação à água: (movendo-se em direção a ); - frequência emitida por
: .
- velocidade do som na água:
-
O enunciado pede:
(a) a frequência do sinal detectado pelo submarino(isto é, a frequência que ouve quando emite );
(b) a frequência do eco do submarinodetectada pelo submarino (isto é, envia , isso é refletido por e mede a frequência do som refletido).
Passo 2
Breve explicação didática do efeito Doppler para ondas sonoras em um meio (aqui a água) — fórmula e significado das variáveis.
- Quando a fonte e/ou o observador se movem em relação ao meio, a frequência percebida muda pelo efeito Doppler. Para ondas sonoras num meio estacionário a fórmula geral (com sinais escolhidos de forma consistente) é
onde:
-
é a velocidade da onda no meio (aqui ); -
é a velocidade do observador em relação ao meio; tomar se o observador se aproxima da fonte (aumenta a frequência percebida); -
é a velocidade da fonte em relação ao meio; tomar se a fonte se aproxima do observador (também aumenta a frequência emitida em relação ao meio); -
é a frequência emitida pela fonte (no referencial do meio). - Intuição curta: o numerador
aumenta a taxa com que frentes de onda chegam ao observador quando ele se aproxima; o denominador representa que a fonte, ao se aproximar, “encurta” o espaçamento entre frentes de onda no meio, produzindo maior frequência no meio.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao item (a): frequência que
detecta quando
emite
.
- Aqui:
- observador é
com (aproxima-se da fonte); - fonte é
com (aproxima-se do observador); -
.
- observador é
- Usando a fórmula:
Passo 4
Cálculo numérico de (a), mostrando simplificações exatas quando possível.
- Substituindo os números:
- Simplificando a fração
(dividindo numerador e denominador por ). - Portanto
- Fazendo a divisão:
(Arredondei para duas casas decimais; a precisão é compatível com dados dados.)
Passo 5
Explicação didática do item (b): como tratar o eco de
que volta para
.
- Quando
reflete o som, a superfície de vibra na frequência que ela “ouve” ( ). Assim, a reflexão pode ser tratada como se fosse uma fonte que emite ondas com frequência em relação ao seu próprio referencial. Essas ondas, porém, propagam-se no meio, e está em movimento em relação ao meio, logo a emissão é tratada como emissão por uma fonte móvel. - O receptor agora é
, que também está em movimento na direção do emissor refletor. Portanto aplicamos novamente a fórmula geral do Doppler, agora com: -
(frequência “emitida” por , isto é, a frequência do movimento da superfície após receber o pulso); -
(fonte móvel, aproximando-se de ); -
(observador , aproximando-se de ).
-
- Assim, a frequência do eco detectada por
é
- Substituindo
obtido no item (a) resulta em um produto de dois fatores Doppler:
Passo 6
Cálculo numérico de (b) com simplificações exatas quando possível.
- Escrevendo os números:
- Simplificações:
-
(dividindo por ); -
(dividindo por ).
-
- Produto das frações:
- Assim
- Fazendo a conta:
(Arredondei para duas casas decimais.)