On 14 Um gerador em uma das extremidades de uma corda muito longa produz uma onda dada por
e um gerador na outra extremidade produz uma onda dada por
onde
é dado em cm,
em m e
em s. Calcule (a) a frequência, (b) o comprimento de onda e (c) a velocidade de cada onda. Obtenha expressões para as posições (d) dos nós e (e) dos antinós da onda estacionária resultante.
Passo 1
O enunciado dá duas ondas viajantes que se propagam em sentidos opostos numa corda muito longa:
As unidades são:
em
,
em
e
em
.
O que o problema pede:
(a) calcular a frequência de cada onda;
(b) calcular o comprimento de onda de cada uma;
(c) calcular a velocidade de propagação de cada onda;
(d) obter expressão para as posições dos nós da onda estacionária resultante;
(e) obter expressão para as posições dos antinós da onda estacionária resultante.
(a) calcular a frequência de cada onda;
(b) calcular o comprimento de onda de cada uma;
(c) calcular a velocidade de propagação de cada onda;
(d) obter expressão para as posições dos nós da onda estacionária resultante;
(e) obter expressão para as posições dos antinós da onda estacionária resultante.
Passo 2
Identificar os parâmetros que aparecem nas expressões das ondas. Uma onda no formato padrão é
, onde:
-
é a amplitude (altura máxima) da onda; -
é o número de onda (em ), que está relacionado com o comprimento de onda; -
é a velocidade angular (em ), que está relacionada com a frequência.
Comparando com as ondas dadas:
Vou explicar as fórmulas que vou usar em seguida:
- A frequência
(em Hz) é dada por . Aqui é a velocidade angular; dividir por converte de rad/s para ciclos por segundo. - O comprimento de onda
(em m) vem de . Aqui mede quantos radianos de fase existem por metro; rad corresponde a uma oscilação completa. - A velocidade de propagação
(em m/s) pode ser obtida por . Também vale a relação , que é a mesma coisa reescrita.
Passo 3
Aplicando
com
:
Calculemos numericamente:
Interpretação: cada ponto da corda completa aproximadamente
oscilações por segundo.
Passo 4
Aplicando
com
:
Calculemos numericamente:
Interpretação: a distância entre duas cristas sucessivas é cerca de
.
Passo 5
Usando
com
e
:
Verificação com
:
mesmo resultado (boa checagem de consistência).
Passo 6
Somando as duas ondas para obter a onda resultante:
Usa-se a identidade trigonométrica
Tomando
e
:
Logo
Portanto a onda estacionária é
Aqui a dependência em
dá o perfil espacial da amplitude (envelope) e a dependência em
descreve a oscilação temporal dessa amplitude em cada ponto.
Passo 7
Nós são pontos onde a amplitude espacial da onda estacionária é sempre zero. Na expressão obtida, a amplitude espacial é
. Então nós ocorrem quando
Solução geral:
com
. Assim
Podemos também dar a forma numérica para o passo entre nós:
portanto os nós estão em
.
Passo 8
Antinós (ventres) são pontos onde a amplitude espacial tem valor máximo em módulo, isto é
. Isso ocorre quando
Portanto
Numericamente, o espaçamento entre antinós é
logo antinós em
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) posições dos nós: (aprox.
)
(e) posições dos antinós: (aprox.
)
(b)
(c)
(d) posições dos nós:
(e) posições dos antinós: