On 14 Um gerador em uma das extremidades de uma corda muito longa produz uma onda dada por
y=5,8 \cos (3,57 x+15,5 t)
e um gerador na outra extremidade produz uma onda dada por
y=5,8 \cos (3,57 x-15,5 t),
onde y é dado em cm, x em m e t em s. Calcule (a) a frequência, (b) o comprimento de onda e (c) a velocidade de cada onda. Obtenha expressões para as posições (d) dos nós e (e) dos antinós da onda estacionária resultante.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas viajantes que se propagam em sentidos opostos numa corda muito longa:
y_1 = 5,8\cos\bigl(3,57\,x + 15,5\,t\bigr)
y_2 = 5,8\cos\bigl(3,57\,x - 15,5\,t\bigr)
As unidades são: y em \text{cm}, x em \text{m} e t em \text{s}.
O que o problema pede:
(a) calcular a frequência de cada onda;
(b) calcular o comprimento de onda de cada uma;
(c) calcular a velocidade de propagação de cada onda;
(d) obter expressão para as posições dos nós da onda estacionária resultante;
(e) obter expressão para as posições dos antinós da onda estacionária resultante.

Passo 2

Identificar os parâmetros que aparecem nas expressões das ondas. Uma onda no formato padrão é \displaystyle y=A\cos(kx\pm\omega t), onde:
  • A é a amplitude (altura máxima) da onda;
  • k é o número de onda (em \text{rad/m}), que está relacionado com o comprimento de onda;
  • \omega é a velocidade angular (em \text{rad/s}), que está relacionada com a frequência.
Comparando com as ondas dadas:
A = 5,8\\ \text{cm},\qquad k = 3,57\\ \text{rad/m},\qquad \omega = 15,5\\ \text{rad/s}.
Vou explicar as fórmulas que vou usar em seguida:
  • A frequência \,f (em Hz) é dada por \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}. Aqui \omega é a velocidade angular; dividir por 2\pi converte de rad/s para ciclos por segundo.
  • O comprimento de onda \,\lambda (em m) vem de \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{k}. Aqui k mede quantos radianos de fase existem por metro; 2\pi rad corresponde a uma oscilação completa.
  • A velocidade de propagação v (em m/s) pode ser obtida por \displaystyle v=\frac{\omega}{k}. Também vale a relação v=f\lambda, que é a mesma coisa reescrita.

Passo 3

Aplicando \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi} com \omega=15,5:
f=\frac{15,5}{2\pi}.
Calculemos numericamente:
2\pi\approx 6,2831853\quad\Rightarrow\quad f\approx\frac{15,5}{6,2831853}\approx 2,47\\ \text{Hz}.
Interpretação: cada ponto da corda completa aproximadamente 2,47 oscilações por segundo.

Passo 4

Aplicando \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{k} com k=3,57:
\lambda=\frac{2\pi}{3,57}.
Calculemos numericamente:
\lambda\approx\frac{6,2831853}{3,57}\approx 1,76\\ \text{m}.
Interpretação: a distância entre duas cristas sucessivas é cerca de 1,76\\ \text{m}.

Passo 5

Usando \displaystyle v=\frac{\omega}{k} com \omega=15,5 e k=3,57:
v=\frac{15,5}{3,57}\approx 4,34\\ \text{m/s}.
Verificação com v=f\lambda:
v\approx 2,47\times 1,76\approx 4,34\\ \text{m/s},
mesmo resultado (boa checagem de consistência).

Passo 6

Somando as duas ondas para obter a onda resultante:
y=y_1+y_2 = 5,8\cos(3,57x+15,5t)+5,8\cos(3,57x-15,5t).
Usa-se a identidade trigonométrica
\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\!\Bigl(\frac{\alpha+\beta}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{\alpha-\beta}{2}\Bigr).
Tomando \alpha=3,57x+15,5t e \beta=3,57x-15,5t:
\frac{\alpha+\beta}{2}=3,57x,\qquad \frac{\alpha-\beta}{2}=15,5t.
Logo
y = 2\cdot 5,8\cos(3,57x)\cos(15,5t).
Portanto a onda estacionária é
y = 11,6\cos(3,57x)\cos(15,5t)\quad(\text{cm}).
Aqui a dependência em x dá o perfil espacial da amplitude (envelope) e a dependência em t descreve a oscilação temporal dessa amplitude em cada ponto.

Passo 7

Nós são pontos onde a amplitude espacial da onda estacionária é sempre zero. Na expressão obtida, a amplitude espacial é 11,6\cos(3,57x). Então nós ocorrem quando
\cos(3,57x)=0.
Solução geral: \displaystyle 3,57x = \frac{(2n+1)\pi}{2} com n\in\mathbb{Z}. Assim
x_n = \frac{(2n+1)\pi}{2\cdot 3,57}\qquad(n\in\mathbb{Z}).
Podemos também dar a forma numérica para o passo entre nós:
\frac{\pi}{2\cdot 3,57}\approx 0,440\\ \text{m},
portanto os nós estão em x=(2n+1)\times 0,440\\ \text{m}.

Passo 8

Antinós (ventres) são pontos onde a amplitude espacial tem valor máximo em módulo, isto é |\cos(3,57x)|=1. Isso ocorre quando
\cos(3,57x)=\pm 1\quad\Longrightarrow\quad 3,57x = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Portanto
x_n^{\text{(anti)}} = \frac{n\pi}{3,57}\qquad(n\in\mathbb{Z}).
Numericamente, o espaçamento entre antinós é
\frac{\pi}{3,57}\approx 0,880\\ \text{m},
logo antinós em x = n\times 0,880\\ \text{m}.

Resposta

(a) \displaystyle f=\frac{15,5}{2\pi}\approx 2,47\\ \text{Hz}
(b) \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{3,57}\approx 1,76\\ \text{m}
(c) \displaystyle v=\frac{15,5}{3,57}\approx 4,34\\ \text{m/s}
(d) posições dos nós: \displaystyle x_n=\frac{(2n+1)\pi}{2\cdot 3,57}\quad(n\in\mathbb{Z}) (aprox. x=(2n+1)\times 0,440\\ \text{m})
(e) posições dos antinós: \displaystyle x_n^{\text{(anti)}}=\frac{n\pi}{3,57}\quad(n\in\mathbb{Z}) (aprox. x=n\times 0,880\\ \text{m})

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