Sm 3 Deixa-se uma pedra cair em um poço. O som produzido pela pedra ao se chocar com a água é ouvido 3,00 \mathrm{~s} depois que a pedra foi solta. Determine a profundidade do poço. Considere que a velocidade do som no ar é 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a profundidade do poço. Informações dadas:
  • O tempo total entre soltar a pedra e ouvir o som é T=3{,}00\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade do som no ar: v=343\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    O que se deve determinar: a profundidade h do poço (distância vertical da boca do poço até a água).

Passo 2

Definir variáveis e escrever as equações físicas básicas (com explicação):
  • Chamar t_f o tempo que a pedra leva para cair até a água.
  • Chamar t_s o tempo que o som leva para subir do fundo até a boca do poço.
A queda livre com aceleração constante g, partindo do repouso, satisfaz a fórmula (esta é a equação do movimento uniformemente acelerado):
h = \tfrac{1}{2} g t_f^2.
Aqui:
  • h é a profundidade (m),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • t_f é o tempo de queda (s).
O som percorre a distância h com velocidade v, então o tempo do som é:
t_s = \frac{h}{v}.
O tempo total medido é a soma:
T = t_f + t_s.

Passo 3

Substituir h da fórmula da queda na expressão de t_s e montar a equação para t_f:
t_s=\frac{h}{v}=\frac{\tfrac{1}{2}g t_f^2}{v}=\frac{g}{2v}\,t_f^2.
Portanto
T = t_f + \frac{g}{2v}\,t_f^2.
Esta é uma equação quadrática em t_f. Vou resolvê-la para obter t_f e depois h.

Passo 4

Colocar os valores numéricos e simplificar. Com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e v=343\\ \mathrm{m/s},
\frac{g}{2v}=\frac{9{,}8}{2\cdot343}=\frac{9{,}8}{686}=\frac{1}{70}.
Logo a equação fica
\frac{1}{70}t_f^2 + t_f - 3 = 0.
Multiplicando por 70 obtemos o polinômio simples
t_f^2 + 70\,t_f - 210 = 0.
Aplicando a fórmula quadrática (para a=1, b=70, c=-210):
t_f=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-70+\sqrt{70^2-4\cdot1\cdot(-210)}}{2} =\frac{-70+\sqrt{5740}}{2}.
Agora calcular numericamente \sqrt{5740}\approx75{,}7628\ldots. Assim
t_f\approx\frac{-70+75{,}7628}{2}\approx\frac{5{,}7628}{2}\approx 2{,}8814\\ \mathrm{s}.
(Escolheu-se o sinal + na fórmula porque o tempo deve ser positivo.)

Passo 5

Calcular a profundidade h usando h=\tfrac{1}{2}g t_f^2. Primeiro o quadrado:
t_f^2 \approx (2{,}8814)^2 \approx 8{,}3024.
Então
h=\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8 \cdot 8{,}3024 = 4{,}9\cdot 8{,}3024 \approx 40{,}682\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida usando h=v( T - t_f):
T-t_f \approx 3{,}000 - 2{,}8814 = 0{,}1186\\ \mathrm{s}, \qquad h \approx 343\cdot 0{,}1186 \approx 40{,}682\\ \mathrm{m},
confirmando o resultado (pequenas diferenças são apenas de arredondamento).

Resposta

h=40{,}7\\ \mathrm{m}

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