Sm 3 Deixa-se uma pedra cair em um poço. O som produzido pela pedra ao se chocar com a água é ouvido
depois que a pedra foi solta. Determine a profundidade do poço. Considere que a velocidade do som no ar é
e
.
Passo 1
O enunciado pede a profundidade do poço. Informações dadas:
- O tempo total entre soltar a pedra e ouvir o som é
. - Velocidade do som no ar:
. - Aceleração da gravidade:
.
O que se deve determinar: a profundidadedo poço (distância vertical da boca do poço até a água).
Passo 2
Definir variáveis e escrever as equações físicas básicas (com explicação):
- Chamar
o tempo que a pedra leva para cair até a água. - Chamar
o tempo que o som leva para subir do fundo até a boca do poço.
A queda livre com aceleração constante
, partindo do repouso, satisfaz a fórmula (esta é a equação do movimento uniformemente acelerado):
Aqui:
-
é a profundidade (m), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o tempo de queda (s).
O som percorre a distância
com velocidade
, então o tempo do som é:
O tempo total medido é a soma:
Passo 3
Substituir
da fórmula da queda na expressão de
e montar a equação para
:
Portanto
Esta é uma equação quadrática em
. Vou resolvê-la para obter
e depois
.
Passo 4
Colocar os valores numéricos e simplificar. Com
e
,
Logo a equação fica
Multiplicando por
obtemos o polinômio simples
Aplicando a fórmula quadrática (para
,
,
):
Agora calcular numericamente
. Assim
(Escolheu-se o sinal
na fórmula porque o tempo deve ser positivo.)
Passo 5
Calcular a profundidade
usando
. Primeiro o quadrado:
Então
Verificação rápida usando
:
confirmando o resultado (pequenas diferenças são apenas de arredondamento).