Sm 18 Um morcego está voando em uma caverna, orientando-se através de pulsos ultrasônicos. A frequência do som emitido pelo morcego é 38.900 Hz . Ele se aproxima da parede de uma caverna com velocidade de 8,60
. Determine a frequência com que o morcego ouve o som refletido pela parede da caverna. A velocidade do som em relação ao ar é
.
Passo 1
O enunciado dá estes dados e pede uma coisa só.
- Frequência emitida pelo morcego:
. - Velocidade do morcego (direção em direção à parede):
. - Velocidade do som no ar:
. - A parede da caverna está parada (velocidade da parede igual a zero).
O que se pede:
- Determinar a frequência com que o morcego ouve o som refletido pela parede.
Passo 2
Entendendo o processo fisicamente (em palavras simples, tipo bate-papo): o morcego emite um som com frequência
. Esse som atinge a parede e é refletido. Para tratar matematicamente, é prático ver a reflexão em duas etapas:
-
Primeiro, considerar a parede como um “observador” que recebe o som emitido por uma fonte (o morcego) que está se aproximando dela. Devido ao efeito Doppler, a frequência que chega à parede será diferente de
. -
A parede reflete (reemite) o som com a frequência que “ouviu”. Essa onda refletida é então percebida pelo morcego, que agora é um observador em movimento em relação à fonte (a parede). Novamente, há um efeito Doppler entre a fonte estacionária (a parede) e o morcego em movimento.
Vou explicar as fórmulas de Doppler que usaremos e o que cada símbolo significa.
Passo 3
Fórmulas do efeito Doppler (forma usada aqui):
- Para uma fonte em movimento (velocidade da fonte
) e um observador estacionário, quando a fonte se aproxima do observador a frequência recebida é
Explicando:
é a frequência emitida;
é a velocidade do som no meio;
é a velocidade da fonte em direção ao observador. O denominador
aparece porque as frentes de onda são comprimidas quando a fonte se aproxima, aumentando a frequência percebida.
- Para um observador em movimento (velocidade do observador
) e uma fonte estacionária, quando o observador se aproxima da fonte a frequência percebida é
Explicando: aqui
é a frequência da onda no meio (aquela que sai da fonte estacionária) e
é a velocidade do observador em direção à fonte. O numerador
aumenta a taxa de passagem das frentes de onda pelo observador, aumentando a frequência percebida.
No nosso problema, a parede atua primeiro como observador de uma fonte em movimento e depois como fonte estacionária para o morcego-observador em movimento. Note que a parede está fixa, então nela
na primeira etapa, mas a fórmula apropriada para fonte em movimento (primeiro caso) deve ser usada.
Passo 4
Aplicando a etapa 1 (fonte em movimento → parede estacionária):
Frequência que chega à parede (isto é, que a parede “ouve”):
Aqui
e
são os dados do enunciado.
Aplicando a etapa 2 (parede como fonte estacionária que reemite com frequência
; morcego como observador em movimento):
Frequência que o morcego recebe da onda refletida:
Substituindo
na expressão de
obtemos a fórmula combinada:
Simplificando o fator
(cancela numerador e denominador):
Essa é a fórmula final que dá a frequência que o morcego escuta do som refletido por uma superfície fixa quando o morcego se aproxima dela com velocidade
.
Passo 5
Agora vamos aplicar números, com contas detalhadas para você poder reproduzir na prova sem calculadora complicada.
Substituindo
,
e
na fórmula
começamos calculando numerador e denominador separados:
- Numerador:
- Denominador:
Agora a razão:
Vamos calcular essa divisão de forma aproximada por partes (multiplicando depois pelo
):
Calcule a diferença e veja o aumento percentual:
A fração extra sobre o denominador é aproximadamente
Então a razão vale aproximadamente
Multiplicando por
:
Calcule passo a passo:
somando os acréscimos:
Portanto
Arredondando de forma razoável (os dados têm precisão limitada), conseguimos aproximar para
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o morcego ouve uma frequência maior que a emitida porque ele se aproxima da parede (dupla compressão: fonte se aproxima da parede e depois o observador se aproxima da fonte refletida). O aumento é pequeno porque
é muito menor que
, mas dá incremento de algumas centenas de Hz.