Sm 18 Um morcego está voando em uma caverna, orientando-se através de pulsos ultrasônicos. A frequência do som emitido pelo morcego é 38.900 Hz . Ele se aproxima da parede de uma caverna com velocidade de 8,60 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine a frequência com que o morcego ouve o som refletido pela parede da caverna. A velocidade do som em relação ao ar é 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá estes dados e pede uma coisa só.
  • Frequência emitida pelo morcego: \,f_0 = 38\,900\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do morcego (direção em direção à parede): \,v_s = 8,60\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do som no ar: \,v = 343\\ \mathrm{m/s}.
  • A parede da caverna está parada (velocidade da parede igual a zero).
O que se pede:
  • Determinar a frequência com que o morcego ouve o som refletido pela parede.

Passo 2

Entendendo o processo fisicamente (em palavras simples, tipo bate-papo): o morcego emite um som com frequência \,f_0. Esse som atinge a parede e é refletido. Para tratar matematicamente, é prático ver a reflexão em duas etapas:
  1. Primeiro, considerar a parede como um “observador” que recebe o som emitido por uma fonte (o morcego) que está se aproximando dela. Devido ao efeito Doppler, a frequência que chega à parede será diferente de \,f_0.
  2. A parede reflete (reemite) o som com a frequência que “ouviu”. Essa onda refletida é então percebida pelo morcego, que agora é um observador em movimento em relação à fonte (a parede). Novamente, há um efeito Doppler entre a fonte estacionária (a parede) e o morcego em movimento.
Vou explicar as fórmulas de Doppler que usaremos e o que cada símbolo significa.

Passo 3

Fórmulas do efeito Doppler (forma usada aqui):
  • Para uma fonte em movimento (velocidade da fonte \,v_s) e um observador estacionário, quando a fonte se aproxima do observador a frequência recebida \,f_{\text{obs}} é
f_{\text{obs}} = f_0 \,\frac{v}{\,v - v_s\,}.
Explicando: \,f_0 é a frequência emitida; \,v é a velocidade do som no meio; \,v_s é a velocidade da fonte em direção ao observador. O denominador \,v - v_s aparece porque as frentes de onda são comprimidas quando a fonte se aproxima, aumentando a frequência percebida.
  • Para um observador em movimento (velocidade do observador \,v_o) e uma fonte estacionária, quando o observador se aproxima da fonte a frequência percebida é
f_{\text{obs}} = f_{\text{fonte}} \,\frac{v + v_o}{v}.
Explicando: aqui \,f_{\text{fonte}} é a frequência da onda no meio (aquela que sai da fonte estacionária) e \,v_o é a velocidade do observador em direção à fonte. O numerador \,v + v_o aumenta a taxa de passagem das frentes de onda pelo observador, aumentando a frequência percebida.
No nosso problema, a parede atua primeiro como observador de uma fonte em movimento e depois como fonte estacionária para o morcego-observador em movimento. Note que a parede está fixa, então nela \,v_o=0 na primeira etapa, mas a fórmula apropriada para fonte em movimento (primeiro caso) deve ser usada.

Passo 4

Aplicando a etapa 1 (fonte em movimento → parede estacionária):
Frequência que chega à parede (isto é, que a parede “ouve”):
f_1 = f_0 \,\frac{v}{\,v - v_s\,}.
Aqui \,f_0 e \,v_s são os dados do enunciado.
Aplicando a etapa 2 (parede como fonte estacionária que reemite com frequência \,f_1; morcego como observador em movimento):
Frequência que o morcego recebe da onda refletida:
f_2 = f_1 \,\frac{v + v_s}{v}.
Substituindo \,f_1 na expressão de \,f_2 obtemos a fórmula combinada:
f_2 = \left( f_0 \,\frac{v}{\,v - v_s\,} \right) \frac{v + v_s}{v}.
Simplificando o fator \,v (cancela numerador e denominador):
f_2 = f_0 \,\frac{v + v_s}{\,v - v_s\,}.
Essa é a fórmula final que dá a frequência que o morcego escuta do som refletido por uma superfície fixa quando o morcego se aproxima dela com velocidade \,v_s.

Passo 5

Agora vamos aplicar números, com contas detalhadas para você poder reproduzir na prova sem calculadora complicada.
Substituindo \,f_0 = 38\,900\\ \mathrm{Hz}, \,v = 343\\ \mathrm{m/s} e \,v_s = 8,60\\ \mathrm{m/s} na fórmula
f_2 = f_0 \,\frac{v + v_s}{\,v - v_s\,},
começamos calculando numerador e denominador separados:
  • Numerador: v + v_s = 343 + 8{,}60 = 351{,}60\\ \mathrm{m/s}.
  • Denominador: v - v_s = 343 - 8{,}60 = 334{,}40\\ \mathrm{m/s}.
Agora a razão:
\frac{v + v_s}{v - v_s} = \frac{351{,}60}{334{,}40}.
Vamos calcular essa divisão de forma aproximada por partes (multiplicando depois pelo f_0):
Calcule a diferença e veja o aumento percentual:
351{,}60 - 334{,}40 = 17{,}20.
A fração extra sobre o denominador é aproximadamente
\frac{17{,}20}{334{,}40} \approx 0{,}05145.
Então a razão vale aproximadamente
\frac{351{,}60}{334{,}40} \approx 1{,}05145.
Multiplicando por \,f_0:
f_2 \approx 38\,900 \times 1{,}05145.
Calcule passo a passo:
38\,900 \times 0{,}05 = 1\,945{,}0,
38\,900 \times 0{,}00145 \approx 56{,}4,
somando os acréscimos:
38\,900 \times 0{,}05145 \approx 1\,945{,}0 + 56{,}4 = 2\,001{,}4.
Portanto
f_2 \approx 38\,900 + 2\,001{,}4 = 40\,901{,}4\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de forma razoável (os dados têm precisão limitada), conseguimos aproximar para
f_2 \approx 40\,900\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o morcego ouve uma frequência maior que a emitida porque ele se aproxima da parede (dupla compressão: fonte se aproxima da parede e depois o observador se aproxima da fonte refletida). O aumento é pequeno porque \,v_s é muito menor que \,v, mas dá incremento de algumas centenas de Hz.

Resposta

4,09\times10^{4}\\ \mathrm{Hz}

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