17. lim x 0(x+e^3 x)^1 / x=
(A) 0
(B) 1
(C) e^3
(D) 1+e^3
(X) c^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to 0l(x + e^3xr)^1/x
O conteúdo aqui é manipular limites envolvendo potências e usar a transformação com logaritmo para reescrever a expressão na forma e^(cdot). Vamos precisar do desenvolvimento em série de Taylor de e^3x e da expansão de ln(1+u).

Passo 2

Reescrevemos a expressão como uma exponencial usando logaritmo:
l(x + e^3xr)^1/x = exp!l(1xlnl(x + e^3xr)r)
Assim, nosso limite vira
limxto0l(x + e^3xr)^1/x = exp!l(limxto0lnl(x + e^3xr)xr)

Passo 3

Para achar lnl(x + e^3xr) perto de x=0, usamos
e^3x = 1 + 3x + (3x)^22 + O(x^3) = 1 + 3x + 92x^2 + O(x^3)
Logo
x + e^3x = 1 + 4x + 92x^2 + O(x^3)
Agora aplicamos a expansão
ln(1+u) = u - tfracu^22 + O(u^3) com u = 4x + O(x^2),
o que dá
lnl(x + e^3xr) = lnl(1 + 4x + O(x^2)r) = 4x + O(x^2)

Passo 4

Substituindo em ln(x+e^3x)x obtemos
lnl(x + e^3xr)x = 4x + O(x^2)x = 4 + O(x),
e portanto
limxto0lnl(x + e^3xr)x = 4
Assim o limite original é
exp(4) = e^4

Resposta

e^4

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