Considere os seguintes subconjuntos de N. P conjuntos dos números pares, I o conjunto dos números ímpares e P o conjunto dos números primos. Construa uma bijeção entre:
um subconjunto próprio de P e P.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto dos números pares
P = 2n mid ninN
é equipotente a um de seus subconjuntos próprios.
O conteúdo aqui é cardinalidade de conjuntos infinitos e construção explícita de bijeção.

Passo 2

Escolhemos o subconjunto próprio
S = 2n mid n>=2 = 4,6,8,dots
De fato, Ssubset P e Sneq P porque 2in P mas 2notin S.

Passo 3

Definimos a função
fcolon S to P, f(2n)=2(n-1)
Mostramos que f é injetora.
Se f(2n1)=f(2n2) então
2(n1-1)=2(n2-1)Longrightarrow n1-1=n2-1Longrightarrow n1=n2,
logo 2n1=2n2.

Passo 4

Mostramos que f é sobrejetora.
Dado qualquer yin P, escrevemos y=2m com minN.
Como m>=1, temos m+1>=2 e então x=2(m+1)in S.
Além disso,
f(x)=fl(2(m+1)r)=2l((m+1)-1r)=2m=y
Assim todo yin P tem um antecessor em S.

Resposta

A bijeção é
fcolon 2n:n>=2to2n:n>=1, f(2n)=2(n-1)

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