Considere os seguintes subconjuntos de
.
conjuntos dos números pares,
o conjunto dos números ímpares e
o conjunto dos números primos. Construa uma bijeção entre:
um subconjunto próprio de
e
.
um subconjunto próprio de
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto dos números pares
é equipotente a um de seus subconjuntos próprios.
O conteúdo aqui é cardinalidade de conjuntos infinitos e construção explícita de bijeção.
O conteúdo aqui é cardinalidade de conjuntos infinitos e construção explícita de bijeção.
Passo 2
Escolhemos o subconjunto próprio
De fato,
e
porque
mas
.
Passo 3
Definimos a função
Mostramos que
é injetora.
Se então
Se
logo
.
Passo 4
Mostramos que
é sobrejetora.
Dado qualquer , escrevemos
com
.
Como , temos
e então
.
Além disso,
Dado qualquer
Como
Além disso,
Assim todo
tem um antecessor em
.
Resposta
A bijeção é