1. Explique por que uma função contínua pode não ser derivável.

Passo 1

O enunciado pergunta por que uma função contínua em um ponto a pode deixar de ser derivável ali. O conteúdo envolve as definições de continuidade e derivada, e o teorema que diz que derivabilidade implica continuidade, mas não o inverso.

Passo 2

Definição de continuidade em a:
limxto af(x)=f(a)
Isso significa que, ao aproximar x de a, os valores de f(x) se aproximam de f(a).

Passo 3

Definição de derivada em a:
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h,
desde que esse limite exista (seja finito e único).

Passo 4

Propriedade chave: se f é derivável em a, então f é contínua em a.
Esboço da prova: supondo que L=limhto0f(a+h)-f(a)h existe e é finito, então
f(a+h)-f(a)=hcdotf(a+h)-f(a)h
e, ao fazer hto0, o lado direito tende a 0cdot L=0. Logo limhto0f(a+h)=f(a).

Passo 5

Porém, continuidade não garante a existência do limite do quociente f(a+h)-f(a)h. Três situações comuns em que o limite não existe são:
  1. Quinas ou cantos (slope lateral diferente).
  2. Cúspides (tangentes verticais).
  3. Oscilações muito rápidas perto de a.

Passo 6

Exemplo clássico – a função valor absoluto:
f(x)=|x|
Em a=0 temos
limxto0f(x)=0,
ou seja, f é contínua. Mas os quocientes laterais são
limhto0^+|h|-0h=+1, limhto0^-|h|-0h=-1,
portanto o limite não existe e f não é derivável em 0.

Resposta

Uma função contínua pode não ser derivável porque a existência da derivada em um ponto exige que o limite do quociente incremental
limhto0f(a+h)-f(a)h
exista e seja único. A continuidade só garante que f(a+h)to f(a), mas não controla o comportamento do quociente. Em pontos de quina, cúspide ou oscilações abruptas, esse limite falha em convergir, embora a função permaneça contínua.

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