- Explique por que uma função contínua pode não ser derivável.
Passo 1
O enunciado pergunta por que uma função contínua em um ponto
pode deixar de ser derivável ali. O conteúdo envolve as definições de continuidade e derivada, e o teorema que diz que derivabilidade implica continuidade, mas não o inverso.
Passo 2
Definição de continuidade em
:
Isso significa que, ao aproximar
de
, os valores de
se aproximam de
.
Passo 3
Definição de derivada em
:
desde que esse limite exista (seja finito e único).
Passo 4
Propriedade chave: se
é derivável em
, então
é contínua em
.
Esboço da prova: supondo que
existe e é finito, então
e, ao fazer
, o lado direito tende a
. Logo
.
Passo 5
Porém, continuidade não garante a existência do limite do quociente
. Três situações comuns em que o limite não existe são:
- Quinas ou cantos (slope lateral diferente).
- Cúspides (tangentes verticais).
- Oscilações muito rápidas perto de
.
Passo 6
Exemplo clássico – a função valor absoluto:
Em
temos
ou seja,
é contínua. Mas os quocientes laterais são
portanto o limite não existe e
não é derivável em
.
Resposta
Uma função contínua pode não ser derivável porque a existência da derivada em um ponto exige que o limite do quociente incremental
exista e seja único. A continuidade só garante que
, mas não controla o comportamento do quociente. Em pontos de quina, cúspide ou oscilações abruptas, esse limite falha em convergir, embora a função permaneça contínua.