(17)Uma linha de cargas de comprimento L, ao longo do eixo, x contém carga total Q, positiva e uniformente distribuída.
(b)Considere o limite em que y ll L e mostre que então Ey(y)=lambda2 pi epsilon0 y em que lambda=QL. Esse é o limite de fio infinito uniformente carregado.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma linha de carga de comprimento L ao longo do eixo x, com carga total Q uniformemente distribuída (logo a densidade linear é lambda = Q/L). Queremos calcular o campo elétrico em um ponto a distância y do fio, e no limite y ll L mostrar que
Ey(y);=;lambda2piepsilon0,y
que é justamente o resultado para um fio infinito.
Matéria envolvida: eletrostática (Lei de Coulomb e superposição), densidade linear de carga, integração e limite. Vamos precisar montar a integral do campo gerado por um elemento de carga dq, projetar na direção y e depois usar uma aproximação para yll L.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um elemento de carga dq=lambda,dx situado no ponto (x,0). Pelo princípio da superposição e pela Lei de Coulomb, o vetor campo devido a esse dq num ponto (0,y) vale
dvec E=14piepsilon0,dqr^2,hat r,, r=raizx^2+y^2,
Só que, por simetria, a componente horizontal se cancela (parte para +x e para -x), sobrando a componente vertical
$$dE_y = dE;\sin\theta
=\frac{1}{4\pi\epsilon_0},\frac{\lambda,dx}{(x2+y2)};\frac{y}{\sqrt{x2+y2}}
=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0},\frac{y,dx}{(x2+y2)^{3/2}},. $$
Agora integramos dEy = dE;sintheta =14piepsilon0,lambda,dx(x^2+y^2);yraizx^2+y^2 =lambda4piepsilon0,y,dx(x^2+y^2)^3/2, de x até -L/2.

Passo 3

Montando a integral, temos
$$E_y = \int_{-L/2}^{L/2} dE_y
=\frac{\lambda,y}{4\pi\epsilon_0}\int_{-L/2}{L/2}\frac{dx}{(x2+y2){3/2}},. Ey = integral-L/2^L/2 dEy =lambda,y4piepsilon0integral-L/2^L/2dx(x^2+y^2)^3/2, \int\frac{dx}{(x2+a2)^{3/2}} = \frac{x}{a2\sqrt{x2+a^2}}, $$
logo, com integraldx(x^2+a^2)^3/2 = xa^2raizx^2+a^2,, , obtemos
a=y
Substituindo de volta,
integral-L/2^L/2dx(x^2+y^2)^3/2 =xy^2raizx^2+y^2|-L/2^L/2 =Ly^2raizl(tfracL2r)^2+y^2,

Passo 4

Agora vem a mágica do limite yll L: nesse caso 4y^2/L^2ll1, então
raiz1+4y^2/L^2approx1,,
e o fator extra some. Assim ficamos com
Ey(y)approxlambda2piepsilon0,y,,
que é o campo de um fio infinito uniformemente carregado.

Resposta

boxedEy(y)=lambda2piepsilon0,y(yll L),

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