(17)Uma linha de cargas de comprimento , ao longo do eixo, contém carga total , positiva e uniformente distribuída.
(b)Considere o limite em que e mostre que então em que . Esse é o limite de fio infinito uniformente carregado.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma linha de carga de comprimento ao longo do eixo , com carga total uniformemente distribuída (logo a densidade linear é ). Queremos calcular o campo elétrico em um ponto a distância do fio, e no limite mostrar que
que é justamente o resultado para um fio infinito.
Matéria envolvida: eletrostática (Lei de Coulomb e superposição), densidade linear de carga, integração e limite. Vamos precisar montar a integral do campo gerado por um elemento de carga , projetar na direção e depois usar uma aproximação para .
Passo 2
Primeiro, escolhemos um elemento de carga situado no ponto . Pelo princípio da superposição e pela Lei de Coulomb, o vetor campo devido a esse num ponto vale
Só que, por simetria, a componente horizontal se cancela (parte para e para ), sobrando a componente vertical
$$dE_y = dE;\sin\theta