(18)Um fio muito longo carregado uniformemente com densidade linear de carga lambda, contido no plano x y, tem uma extremidade na origem e estende até o ponto (L, 0,0 ), com L longrightarrow infty. Divida o fio em elementos de carga d q=lambda d x para calcular o campo elétrico em um ponto da perpendicular ao fio passando na origem.
(a)Mostre que a componente x do campo elétrico no ponto de coordenadas ( 0, y, 0 ) é dada por:
Ex(y)=lambda4 pi epsilon0 y

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um fio semi-infinito (vai de x=0 até x→∞) carregado com densidade linear de carga λ, no eixo x. Queremos achar o campo elétrico no ponto (0,y,0). O conteúdo envolve Lei de Coulomb e integração de elementos de carga. Vamos usar:
  • dq = λ dx
  • d𝐸 pela Lei de Coulomb
  • componente x de 𝐸

Passo 2

Escolhemos um pedacinho de fio entre x e x+dx.
– dq = λ dx
– A distância do pedacinho até o ponto (0,y,0) é
r = raizx^2 + y^2
Pela Lei de Coulomb, o módulo do campo gerado por dq é
dE = 14piepsilon0,dqr^2 = 14piepsilon0,lambda,dx(x^2+y^2)

Passo 3

A gente só quer a componente ao longo de x. O ângulo entre o vetor 𝐸(d) e o eixo x satisfaz
costheta = xr = xraizx^2+y^2
Então
dEx = dEcostheta = 14piepsilon0,lambda,dx(x^2+y^2)cdotxraizx^2+y^2 = lambda4piepsilon0,x,dx(x^2+y^2)^3/2

Passo 4

Agora a gente integra de x=0 até x→∞:
Ex(y) = integral0^infty dEx = lambda4piepsilon0integral0^infty x,dx(x^2+y^2)^3/2

Passo 5

Para resolver
integral0^infty x,dx(x^2+y^2)^3/2,
fazemos a troca integral0^inftyx,dx(x^2+y^2)^3/2 = integralu=y^2^u=infty 12,u^-3/2,du = 12l[-2,u^-1/2r]y^2^infty = [,1u^1/2]y^2^infty = 1y , daí . Então

Passo 6

Substituindo de volta em Ex(y)=lambda4piepsilon0cdot1y :

Resposta

boxedEx(y)=lambda4piepsilon0,y

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