(18)Um fio muito longo carregado uniformemente com densidade linear de carga
, contido no plano
, tem uma extremidade na origem e estende até o ponto (L, 0,0 ), com
. Divida o fio em elementos de carga
para calcular o campo elétrico em um ponto da perpendicular ao fio passando na origem.
(a)Mostre que a componente
do campo elétrico no ponto de coordenadas (
) é dada por:
(a)Mostre que a componente
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos um fio semi-infinito (vai de x=0 até x→∞) carregado com densidade linear de carga λ, no eixo x. Queremos achar o campo elétrico no ponto (0,y,0). O conteúdo envolve Lei de Coulomb e integração de elementos de carga. Vamos usar:
- dq = λ dx
- d𝐸 pela Lei de Coulomb
- componente x de 𝐸
Passo 2
Escolhemos um pedacinho de fio entre x e x+dx.
– dq = λ dx
– A distância do pedacinho até o ponto (0,y,0) é
– dq = λ dx
– A distância do pedacinho até o ponto (0,y,0) é
Pela Lei de Coulomb, o módulo do campo gerado por dq é
Passo 3
A gente só quer a componente ao longo de x. O ângulo entre o vetor 𝐸(d) e o eixo x satisfaz
Então
Passo 4
Agora a gente integra de x=0 até x→∞:
Passo 5
Para resolver
fazemos a troca
, daí
. Então
Passo 6
Substituindo de volta em
: