-17 A massa específica linear de uma corda é
. Uma onda transversal na corda é descrita pela equação
(a) Qual é a velocidade da onda e (b) qual é a tração da corda?
Passo 1
O enunciado dá uma corda com massa linear e uma onda transversal. Perguntas a responder:
- (a) Qual é a velocidade da onda?
- (b) Qual é a tração (tensão) na corda?
Dados fornecidos:
A função que descreve a onda é
Aqui aparecem os parâmetros numéricos
,
e
com suas unidades, que vamos usar diretamente na resolução.
Passo 2
Vamos identificar o que cada símbolo da função da onda significa, devagarinho, para não ter confusão na prova.
A forma geral de uma onda harmônica unidimensional é
A forma geral de uma onda harmônica unidimensional é
onde:
-
é a amplitude (a altura máxima da corda), medida em metros; -
é o número de onda, medido em . Ele está relacionado ao comprimento de onda por ; -
é a frequência angular, medida em . Ela está relacionada à frequência temporal por ; - o sinal
no argumento determina a direção de propagação: representa uma onda que se propaga no sentido positivo de , enquanto representa propagação no sentido negativo de .
No nosso caso, comparando com a expressão dada, temos
Passo 3
Agora a relação entre
,
e a velocidade de fase
da onda. A velocidade de fase é a velocidade com que os picos (ou qualquer ponto de fase constante) se deslocam. Para uma onda harmônica:
Explicando por que isso é verdade: se o argumento da seno é constante,
constante. Diferenciando em relação a
(tratando
como função de
) dá
, logo
. O módulo da velocidade é
. O sinal indica direção (o sinal menos/mais conecta com a direção do movimento).
Passo 4
Aplicando
com os valores dados:
Calcule passo a passo:
Portanto
Observação sobre direção: como o argumento é
(sinal
), a onda se propaga no sentido negativo de
. Se a questão pedir só o módulo da velocidade, a resposta é
; se pedir também a direção, é para o sentido negativo de
.
Passo 5
Agora vamos obter a tração
da corda. A relação entre velocidade de propagação
, tração
e densidade linear
para ondas transversais em uma corda é
Essa fórmula vem da equação de ondas para uma corda tensa: a velocidade aumenta se a tensão aumenta e diminui se a massa por unidade de comprimento aumenta. Isolando
obtemos
Aqui:
-
tem unidade de newtons ( ); -
está em ; -
em , então dá .
Passo 6
Calcule
com os valores numéricos.
Primeiro :
Primeiro
Agora multiplico por
:
Faço a conta em duas etapas:
e então aplicar o fator
:
Também posso escrever em decimal:
Cheque rápido de unidades:
. Está consistente.
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: concluímos os valores pedindo a velocidade a partir da razão
e a tração a partir de
. Dá para fazer essas contas na mão sem calculadora se você organizar as etapas como eu mostrei (calcule
primeiro, depois
, depois multiplique por
). Vai dar tudo certo na prova — calma, respira, confia no passo a passo que treinamos aqui.