-17 A massa específica linear de uma corda é 1,6 \times 10^{-4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. Uma onda transversal na corda é descrita pela equação
y=(0,021 \mathrm{~m}) \operatorname{sen}\left[\left(2,0 \mathrm{~m}^{-1}\right) x+\left(30 \mathrm{~s}^{-1}\right) t\right] .
(a) Qual é a velocidade da onda e (b) qual é a tração da corda?

Passo 1

O enunciado dá uma corda com massa linear e uma onda transversal. Perguntas a responder:
  • (a) Qual é a velocidade da onda?
  • (b) Qual é a tração (tensão) na corda?
Dados fornecidos:
\mu = 1,6\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/m}
A função que descreve a onda é
y=(0,021\\ \mathrm{m})\\ \operatorname{sen}\!\left[\left(2,0\\ \mathrm{m}^{-1}\right)x+\left(30\\ \mathrm{s}^{-1}\right)t\right].
Aqui aparecem os parâmetros numéricos 0,021, 2,0 e 30 com suas unidades, que vamos usar diretamente na resolução.

Passo 2

Vamos identificar o que cada símbolo da função da onda significa, devagarinho, para não ter confusão na prova.
A forma geral de uma onda harmônica unidimensional é
y(x,t)=A\\ \operatorname{sen}\!\big(kx\pm\omega t\big),
onde:
  • A é a amplitude (a altura máxima da corda), medida em metros;
  • k é o número de onda, medido em \mathrm{m}^{-1}. Ele está relacionado ao comprimento de onda \lambda por \lambda=\dfrac{2\pi}{k};
  • \omega é a frequência angular, medida em \mathrm{s}^{-1}. Ela está relacionada à frequência temporal f por \omega=2\pi f;
  • o sinal \pm no argumento determina a direção de propagação: \operatorname{sen}(kx-\omega t) representa uma onda que se propaga no sentido positivo de x, enquanto \operatorname{sen}(kx+\omega t) representa propagação no sentido negativo de x.
    No nosso caso, comparando com a expressão dada, temos
A=0,021\\ \mathrm{m},\qquad k=2,0\\ \mathrm{m}^{-1},\qquad \omega=30\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Agora a relação entre \omega, k e a velocidade de fase v da onda. A velocidade de fase é a velocidade com que os picos (ou qualquer ponto de fase constante) se deslocam. Para uma onda harmônica:
v=\frac{\omega}{k}.
Explicando por que isso é verdade: se o argumento da seno é constante, kx\pm\omega t= constante. Diferenciando em relação a t (tratando x como função de t) dá k\frac{dx}{dt}\pm\omega=0, logo \frac{dx}{dt}=\mp\frac{\omega}{k}. O módulo da velocidade é \frac{\omega}{k}. O sinal indica direção (o sinal menos/mais conecta com a direção do movimento).

Passo 4

Aplicando \;v=\dfrac{\omega}{k}\; com os valores dados:
v=\frac{30\\ \mathrm{s}^{-1}}{2,0\\ \mathrm{m}^{-1}}.
Calcule passo a passo:
\frac{30}{2,0}=15.
Portanto
v=15\\ \mathrm{m/s}.
Observação sobre direção: como o argumento é kx+\omega t (sinal +), a onda se propaga no sentido negativo de x. Se a questão pedir só o módulo da velocidade, a resposta é 15\\ \mathrm{m/s}; se pedir também a direção, é para o sentido negativo de x.

Passo 5

Agora vamos obter a tração T da corda. A relação entre velocidade de propagação v, tração T e densidade linear \mu para ondas transversais em uma corda é
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Essa fórmula vem da equação de ondas para uma corda tensa: a velocidade aumenta se a tensão aumenta e diminui se a massa por unidade de comprimento aumenta. Isolando T obtemos
T=\mu v^{2}.
Aqui:
  • T tem unidade de newtons ( \mathrm{N});
  • \mu está em \mathrm{kg/m};
  • v em \mathrm{m/s}, então \mu v^{2} \mathrm{kg/m}\cdot(\mathrm{m^2/s^2})=\mathrm{kg\cdot m/s^2}=\mathrm{N}.

Passo 6

Calcule T=\mu v^{2} com os valores numéricos.
Primeiro v^{2}:
v^{2}=15^{2}=225\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Agora multiplico por \mu:
T = \big(1,6\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/m}\big)\times 225.
Faço a conta em duas etapas: 225\times1,6=360 e então aplicar o fator 10^{-4}:
T=360\times10^{-4}\\ \mathrm{N}=3,6\times10^{-2}\\ \mathrm{N}.
Também posso escrever em decimal:
T=0,036\\ \mathrm{N}.
Cheque rápido de unidades: \mathrm{kg/m}\times\mathrm{m^2/s^2}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}=\mathrm{N}. Está consistente.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: concluímos os valores pedindo a velocidade a partir da razão \omega/k e a tração a partir de T=\mu v^2. Dá para fazer essas contas na mão sem calculadora se você organizar as etapas como eu mostrei (calcule v primeiro, depois v^2, depois multiplique por \mu). Vai dar tudo certo na prova — calma, respira, confia no passo a passo que treinamos aqui.

Resposta

v=15\\ \mathrm{m/s} (propagando-se no sentido negativo de x)
T=3,6\times10^{-2}\\ \mathrm{N}

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