Os terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra. Ao contrário de um gás, a Terra pode transmitir tanto ondas transversais
como ondas longitudinais
. A velocidade das ondas S é da ordem de
e a velocidade das ondas P é da ordem de
. Um sismógrafo registra as ondas P e S de um terremoto. As primeiras ondas P chegam 3,0 minutos antes das primeiras ondas S . Se as ondas se propagaram em linha reta, a que distância ocorreu o terremoto?
Passo 1
O enunciado pede: determinar a que distância ocorreu o terremoto, sabendo que as ondas P chegam
minutos antes das ondas S e que as velocidades são dadas. Informações relevantes fornecidas:
A hipótese do enunciado: as ondas se propagaram em linha reta, ou seja, ambas percorreram a mesma distância
entre o foco do terremoto e o sismógrafo.
Passo 2
Vamos modelar com variáveis simples e a relação básica de movimento uniforme. Conceito importante (aqui rápido e direto): para movimento com velocidade constante, a distância percorrida é velocidade vezes tempo. Ou seja, para cada tipo de onda:
onde
é o tempo de viagem da onda P e
o tempo de viagem da onda S. Também sabemos que as S chegam depois das P, então
Essas três equações contêm as incógnitas
,
e
. Nosso objetivo é eliminar os tempos e achar
.
Passo 3
Eliminando
entre as primeiras duas equações obtemos
Substituindo
(da terceira equação) temos
Agora desenvolvemos a igualdade e isolamos
:
Essa fórmula vem da álgebra básica: isolamos a incógnita
dividindo ambos os lados por
. Observe que
então o denominador é positivo.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos o numerador:
O denominador é
Portanto
Se preferir em minutos:
minutos (mas não precisamos disso para achar
).
Passo 5
Calculamos a distância usando
. Em unidades:
Arredondando de forma consistente com os dados (duas ou três cifras significativas), podemos escrever
ou
.
Passo 6
Verificação rápida (controle de erro): calcular
. Então
, igual ao valor anterior — perfeito, consistência confirmada.