\cdots 5 Os terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra. Ao contrário de um gás, a Terra pode transmitir tanto ondas transversais (\mathrm{S}) como ondas longitudinais (\mathrm{P}). A velocidade das ondas S é da ordem de 4,5 \mathrm{~km} / \mathrm{s} e a velocidade das ondas P é da ordem de 8,0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}. Um sismógrafo registra as ondas P e S de um terremoto. As primeiras ondas P chegam 3,0 minutos antes das primeiras ondas S . Se as ondas se propagaram em linha reta, a que distância ocorreu o terremoto?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a que distância ocorreu o terremoto, sabendo que as ondas P chegam 3{,}0 minutos antes das ondas S e que as velocidades são dadas. Informações relevantes fornecidas:
v_P = 8{,}0\\ \mathrm{km/s},\qquad v_S = 4{,}5\\ \mathrm{km/s},
\Delta t = 3{,}0\\ \text{min} = 3{,}0\times60 = 180\\ \mathrm{s}.
A hipótese do enunciado: as ondas se propagaram em linha reta, ou seja, ambas percorreram a mesma distância d entre o foco do terremoto e o sismógrafo.

Passo 2

Vamos modelar com variáveis simples e a relação básica de movimento uniforme. Conceito importante (aqui rápido e direto): para movimento com velocidade constante, a distância percorrida é velocidade vezes tempo. Ou seja, para cada tipo de onda:
d = v_P\,t_P
d = v_S\,t_S
onde t_P é o tempo de viagem da onda P e t_S o tempo de viagem da onda S. Também sabemos que as S chegam depois das P, então
t_S - t_P = \Delta t.
Essas três equações contêm as incógnitas d, t_P e t_S. Nosso objetivo é eliminar os tempos e achar d.

Passo 3

Eliminando d entre as primeiras duas equações obtemos
v_P\,t_P = v_S\,t_S.
Substituindo t_S = t_P + \Delta t (da terceira equação) temos
v_P\,t_P = v_S\,(t_P + \Delta t).
Agora desenvolvemos a igualdade e isolamos t_P:
v_P\,t_P = v_S\,t_P + v_S\,\Delta t
(v_P - v_S)\,t_P = v_S\,\Delta t
t_P = \frac{v_S\,\Delta t}{v_P - v_S}.
Essa fórmula vem da álgebra básica: isolamos a incógnita t_P dividindo ambos os lados por v_P-v_S. Observe que v_P>v_S então o denominador é positivo.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos o numerador:
v_S\,\Delta t = 4{,}5\\ \mathrm{km/s}\times 180\\ \mathrm{s} = 4{,}5\times180 = 810\\ \mathrm{km}.
O denominador é
v_P - v_S = 8{,}0 - 4{,}5 = 3{,}5\\ \mathrm{km/s}.
Portanto
t_P = \frac{810}{3{,}5}\\ \mathrm{s} = 231{,}428571\ldots\\ \mathrm{s}\approx 231{,}43\\ \mathrm{s}.
Se preferir em minutos: 231{,}43\\ \mathrm{s}\div60 \approx 3{,}857 minutos (mas não precisamos disso para achar d).

Passo 5

Calculamos a distância usando d = v_P\,t_P. Em unidades:
d = 8{,}0\\ \mathrm{km/s}\times 231{,}428571\\ \mathrm{s} = 1851{,}428568\ldots\\ \mathrm{km}.
Arredondando de forma consistente com os dados (duas ou três cifras significativas), podemos escrever d\approx 1{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{km} ou d\approx 1850\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Verificação rápida (controle de erro): calcular t_S=t_P+\Delta t=231{,}428571+180=411{,}428571\\ \mathrm{s}. Então v_S t_S = 4{,}5\times411{,}428571=1851{,}428568\\ \mathrm{km}, igual ao valor anterior — perfeito, consistência confirmada.

Resposta

1{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{km}

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