Uma molécula diatômica constitui-se de um átomo com massa 3 M e outro de massa 4 M , separados por uma distância d. Considere que eles girem ao redor de um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular à linha que os une. Se o momento angular desta molécula for quantizado como no modelo de Bohr, determine como as velocidades angulares também serão quantizadas.

Passo 1

O enunciado dá uma molécula diatômica com dois átomos: um de massa 3M e outro de massa 4M, separados por uma distância d. Eles giram em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular à linha que os une. Diz também que o momento angular da molécula é quantizado “como no modelo de Bohr”. A pergunta é: como as velocidades angulares \omega também ficam quantizadas?
Informações relevantes fornecidas:
\text{massas: } m_1=3M,\quad m_2=4M
\text{separação: } dçã
\text{eixo: passa pelo centro de massa, perpendicular à linha que une os átomos.}àá
O que se pede: expressão para os valores permitidos de \omega (velocidades angulares), em função de n (número quântico do modelo de Bohr), M e d.

Passo 2

Primeiro precisamos achar as distâncias de cada átomo ao centro de massa, chamando-as de r_1 (para a massa 3M) e r_2 (para a massa 4M). Sabemos duas coisas: a soma das distâncias é a separação total e o centro de massa satisfaz a relação de momentos:
r_1 + r_2 = d
m_1 r_1 = m_2 r_2.
Substituindo m_1=3M e m_2=4M na segunda equação:
3M\,r_1 = 4M\,r_2 \quad\Rightarrow\quad 3r_1 = 4r_2.
Daqui expressamos r_1 em função de r_2:
r_1 = \frac{4}{3}r_2.
Agora usamos r_1+r_2=d:
\frac{4}{3}r_2 + r_2 = d \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{4}{3}+1\right)r_2 = d.
Calculemos o coeficiente:
\frac{4}{3}+1=\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{7}{3},
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r_2 = \frac{3}{7}\,d.
E então
r_1 = \frac{4}{3}r_2 = \frac{4}{3}\cdot\frac{3}{7}d=\frac{4}{7}\,d.

Passo 3

Agora calculamos o momento de inércia I relativo ao eixo que passa pelo centro de massa. Para partículas puntuais (ou átomos aproximados como tais) o momento de inércia é
I = \sum m_i r_i^2.
Aqui:
I = 3M\,r_1^2 + 4M\,r_2^2.
Substituindo r_1=\dfrac{4}{7}d e r_2=\dfrac{3}{7}d:
I = 3M\left(\frac{4}{7}d\right)^2 + 4M\left(\frac{3}{7}d\right)^2.
Fatorando M d^2 e calculando os coeficientes:
I = M d^2\left(3\cdot\frac{16}{49} + 4\cdot\frac{9}{49}\right) = M d^2\left(\frac{48}{49} + \frac{36}{49}\right) = M d^2\cdot\frac{84}{49}.
Simplificando \dfrac{84}{49}=\dfrac{12}{7}, obtemos
I = \frac{12}{7}\,M d^2.

Passo 4

No modelo de Bohr para quantização do momento angular (a hipótese fornecida pelo enunciado), o momento angular total L é dado por
L = n\hbar,
onde n é um número inteiro ( n=0,1,2,\dots ) e \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar=\dfrac{h}{2\pi}). Para um corpo rígido em rotação com velocidade angular \omega o momento angular é também
L = I\omega.
Igualando as duas expressões:
I\omega_n = n\hbar.

Passo 5

Isolamos \omega_n:
\omega_n = \frac{n\hbar}{I}.
Substituindo o valor de I encontrado em \,\,\displaystyle I=\frac{12}{7}Md^2:
\omega_n = \frac{n\hbar}{\dfrac{12}{7}Md^2} = n\hbar \cdot \frac{7}{12Md^2}.
Portanto os valores permitidos de velocidade angular são proporcionais ao inteiro n:

Resposta

\omega_n = \frac{7\,n\hbar}{12\,M\,d^{2}},\quad n=0,1,2,\dots

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