Uma molécula diatômica constitui-se de um átomo com massa 3 M e outro de massa 4 M , separados por uma distância d. Considere que eles girem ao redor de um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular à linha que os une. Se o momento angular desta molécula for quantizado como no modelo de Bohr, determine como as velocidades angulares também serão quantizadas.
Passo 1
O enunciado dá uma molécula diatômica com dois átomos: um de massa
e outro de massa
, separados por uma distância
. Eles giram em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular à linha que os une. Diz também que o momento angular da molécula é quantizado “como no modelo de Bohr”. A pergunta é: como as velocidades angulares
também ficam quantizadas?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: expressão para os valores permitidos de
(velocidades angulares), em função de
(número quântico do modelo de Bohr),
e
.
Passo 2
Primeiro precisamos achar as distâncias de cada átomo ao centro de massa, chamando-as de
(para a massa
) e
(para a massa
). Sabemos duas coisas: a soma das distâncias é a separação total e o centro de massa satisfaz a relação de momentos:
Substituindo
e
na segunda equação:
Daqui expressamos
em função de
:
Agora usamos
:
Calculemos o coeficiente:
logo
E então
Passo 3
Agora calculamos o momento de inércia
relativo ao eixo que passa pelo centro de massa. Para partículas puntuais (ou átomos aproximados como tais) o momento de inércia é
Aqui:
Substituindo
e
:
Fatorando
e calculando os coeficientes:
Simplificando
, obtemos
Passo 4
No modelo de Bohr para quantização do momento angular (a hipótese fornecida pelo enunciado), o momento angular total
é dado por
onde
é um número inteiro (
) e
é a constante de Planck reduzida (
). Para um corpo rígido em rotação com velocidade angular
o momento angular é também
Igualando as duas expressões:
Passo 5
Isolamos
:
Substituindo o valor de
encontrado em
:
Portanto os valores permitidos de velocidade angular são proporcionais ao inteiro
: