Uma corda oscila de acordo com a equação
. Qual é (a) a amplitude e (b) a velocidade das duas ondas cuja superposição produz esta oscilação? (c) Qual é a distância entre os nós? (d) Qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto
para
Passo 1
O enunciado dá a oscilação da corda pela equação
Perguntas a responder:
- (a) Qual é a amplitude?
- (b) Qual é a velocidade das duas ondas cuja superposição produz esta oscilação?
- (c) Qual é a distância entre os nós?
- (d) Qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto
para ?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os parâmetros presentes são o número de onda
(unidade:
, deduzido porque
é dado em cm) e a frequência angular
(unidade:
). O problema também fornece o ponto
e o instante
.
Passo 2
Entendendo a forma da solução e o que é amplitude aqui (aula curta e útil):
- Uma função do tipo
é uma onda estacionária (standing wave). Ela pode ser escrita como soma de duas ondas viajantes opostas usando a identidade trigonométrica
- No nosso caso, a constante multiplicativa externa é
, então
Isso mostra explicitamente que a oscilação é a superposição de duas ondas viajantes de direções contrárias, cada uma com amplitude
.
Explicação didática sobre amplitude:
- A “amplitude da onda estacionária” em um ponto
é a amplitude espacial dependente . Isso significa que a amplitude máxima da oscilação temporal naquele ponto é . - O valor máximo absoluto que essa amplitude espacial pode atingir ao variar
é (pois ). - As ondas viajantes individuais (as duas que somadas dão a estacionária) têm amplitude
, como visto na decomposição.
Passo 3
Resposta à letra (a) pedindo amplitude — formalizando o que devemos dizer:
- Amplitude da onda estacionária como função de
:
- Amplitude máxima global (valor máximo absoluto que a amplitude pode ter, ao variar
):
- Amplitude de cada uma das duas ondas viajantes individuais (da decomposição):
.
Não declarei ainda a linha final de resposta; aqui estou explicando os significados para você saber o que escolher na prova.
Passo 4
Calcular a velocidade das ondas viajantes (letra (b)) — fórmula e aplicação:
- Para ondas do tipo
a velocidade de propagação (módulo) é dada por
- No problema temos
e . Então
Agora faço a conta passo a passo:
. Uma forma prática é multiplicar numerador e denominador por 100 para evitar vírgulas:
.
, então o quociente é ligeiramente menor que
. Fazendo a divisão:
Arredondando razoavelmente:
Se preferir em metros por segundo, divida por
:
Passo 5
Calcular a distância entre nós (letra (c)) — teoria e aplicação:
- Nós são os pontos em
onde a amplitude espacial se anula permanentemente, ou seja, onde . Isso ocorre para
- Distância entre nós adjacentes (entre
e ) é
- Aqui
, então
Faço a conta:
, então
Arredondando:
Passo 6
Calcular a velocidade transversal no ponto e instante dados (letra (d)) — derivada temporal e avaliação:
- A velocidade transversal de uma partícula da corda é a derivada parcial de
em relação a :
- A função é
. Derivando em :
- Agora avalio para
e , usando e .
Calcule
:
Note que
, então
está muito próximo de
. Assim
Calcule
:
Reduzindo módulo
para facilitar a avaliação do seno:
. Dividindo,
portanto subtraindo
voltas inteiras:
Observe que
está próximo de
(pois
), com diferença
. Logo
Agora plugamos tudo em
:
Numéricamente,
Multiplicando:
Arredondando com razoável precisão:
Em metros por segundo:
Resposta
(a) Amplitude espacial
. Amplitude máxima
. Amplitude de cada onda viajante
.\n(b) Velocidade das ondas
(≈
).\n(c) Distância entre nós
.\n(d) Velocidade transversal em
,
:
(≈
).