Uma corda oscila de acordo com a equação y^{\prime}=\frac{1}{2} \sin (1,05 x) \cos (125,7 t). Qual é (a) a amplitude e (b) a velocidade das duas ondas cuja superposição produz esta oscilação? (c) Qual é a distância entre os nós? (d) Qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x=1,5 \mathrm{~cm} para t=\frac{9}{8} s ?

Passo 1

O enunciado dá a oscilação da corda pela equação
y(x,t)=\frac{1}{2}\sin\!\bigl(1,05\,x\bigr)\cos\!\bigl(125,7\,t\bigr).
Perguntas a responder:
  1. (a) Qual é a amplitude?
  2. (b) Qual é a velocidade das duas ondas cuja superposição produz esta oscilação?
  3. (c) Qual é a distância entre os nós?
  4. (d) Qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x=1,5\\ \mathrm{cm} para t=\tfrac{9}{8}\\ \mathrm{s}?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{amplitude espacial-temporal dada: }\frac{1}{2}\sin\!\bigl(1,05\,x\bigr)\cos\!\bigl(125,7\,t\bigr).
Os parâmetros presentes são o número de onda k=1,05 (unidade: \mathrm{rad/cm}, deduzido porque x é dado em cm) e a frequência angular \omega=125,7 (unidade: \mathrm{rad/s}). O problema também fornece o ponto x=1,5\\ \mathrm{cm} e o instante t=\tfrac{9}{8}\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo a forma da solução e o que é amplitude aqui (aula curta e útil):
  • Uma função do tipo \sin(kx)\cos(\omega t) é uma onda estacionária (standing wave). Ela pode ser escrita como soma de duas ondas viajantes opostas usando a identidade trigonométrica
\sin(kx)\cos(\omega t)=\tfrac{1}{2}\bigl[\sin(kx+\omega t)+\sin(kx-\omega t)\bigr].
  • No nosso caso, a constante multiplicativa externa é A=\tfrac{1}{2}, então
y(x,t)=\frac{1}{2}\sin(kx)\cos(\omega t) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl[\sin(kx+\omega t)+\sin(kx-\omega t)\bigr] =\frac{1}{4}\bigl[\sin(kx+\omega t)+\sin(kx-\omega t)\bigr].
Isso mostra explicitamente que a oscilação é a superposição de duas ondas viajantes de direções contrárias, cada uma com amplitude \tfrac{1}{4}.
Explicação didática sobre amplitude:
  • A “amplitude da onda estacionária” em um ponto x é a amplitude espacial dependente A(x)=\tfrac{1}{2}\sin(kx). Isso significa que a amplitude máxima da oscilação temporal naquele ponto é |A(x)|.
  • O valor máximo absoluto que essa amplitude espacial pode atingir ao variar x é \tfrac{1}{2} (pois |\sin|\le 1).
  • As ondas viajantes individuais (as duas que somadas dão a estacionária) têm amplitude \tfrac{1}{4}, como visto na decomposição.

Passo 3

Resposta à letra (a) pedindo amplitude — formalizando o que devemos dizer:
  • Amplitude da onda estacionária como função de x:
\text{amplitude (dependente de }x\text{)}\;=\;A(x)=\frac{1}{2}\sin\!\bigl(1,05\,x\bigr).
  • Amplitude máxima global (valor máximo absoluto que a amplitude pode ter, ao variar x):
\max|A(x)|=\frac{1}{2}.
  • Amplitude de cada uma das duas ondas viajantes individuais (da decomposição): \dfrac{1}{4}.
Não declarei ainda a linha final de resposta; aqui estou explicando os significados para você saber o que escolher na prova.

Passo 4

Calcular a velocidade das ondas viajantes (letra (b)) — fórmula e aplicação:
  • Para ondas do tipo \sin(kx-\omega t) a velocidade de propagação (módulo) é dada por
v=\frac{\omega}{k}.
  • No problema temos k=1,05 e \omega=125,7. Então
v=\frac{125,7}{1,05}.
Agora faço a conta passo a passo: 125,7\div 1,05. Uma forma prática é multiplicar numerador e denominador por 100 para evitar vírgulas: 12570\div 105. 105\cdot 120=12600, então o quociente é ligeiramente menor que 120. Fazendo a divisão:
v\approx 119,7142857\\ \mathrm{cm/s}.
Arredondando razoavelmente:
v\approx 119,7\\ \mathrm{cm/s}.
Se preferir em metros por segundo, divida por 100:
v\approx 1,197\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a distância entre nós (letra (c)) — teoria e aplicação:
  • Nós são os pontos em x onde a amplitude espacial se anula permanentemente, ou seja, onde \sin(kx)=0. Isso ocorre para
kx=n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Distância entre nós adjacentes (entre n e n+1) é
\Delta x=\frac{\pi}{k}.
  • Aqui k=1,05, então
\Delta x=\frac{\pi}{1,05}.
Faço a conta: \pi\approx 3,1415927, então
\Delta x\approx \frac{3,1415927}{1,05}\approx 2,992947\\ \mathrm{cm}.
Arredondando:
\Delta x\approx 2,993\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular a velocidade transversal no ponto e instante dados (letra (d)) — derivada temporal e avaliação:
  • A velocidade transversal de uma partícula da corda é a derivada parcial de y em relação a t:
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.
  • A função é y(x,t)=\dfrac{1}{2}\sin(kx)\cos(\omega t). Derivando em t:
\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{1}{2}\sin(kx)\cdot\bigl(-\omega\sin(\omega t)\bigr) =-\frac{\omega}{2}\sin(kx)\sin(\omega t).
  • Agora avalio para x=1,5\\ \mathrm{cm} e t=\tfrac{9}{8}\\ \mathrm{s}, usando k=1,05 e \omega=125,7.
Calcule kx:
kx=1,05\times 1,5=1,575\\ \text{(rad)}.
Note que \tfrac{\pi}{2}\approx 1,570796, então kx está muito próximo de \tfrac{\pi}{2}. Assim
\sin(kx)=\sin(1,575)\approx 0,999996\approx 1{,}0\\ \text{(praticamente 1)}.
Calcule \omega t:
\omega t=125,7\times \frac{9}{8}=125,7\times 1,125=141,4125\\ \text{(rad)}.
Reduzindo módulo 2\pi para facilitar a avaliação do seno: 2\pi\approx 6,283185. Dividindo,
141,4125\div 6,283185\approx 22{,}51,
portanto subtraindo 22 voltas inteiras:
\omega t \bmod 2\pi \approx 141,4125-22\cdot 6,283185\approx 3,1824225\\ \text{rad}.
Observe que 3,1824225 está próximo de \pi (pois \pi\approx 3,141593), com diferença \approx 0,04083. Logo
\sin(\omega t)=\sin\bigl(3,1824225\bigr)=\sin\bigl(\pi+0,04083\bigr)=-\sin(0,04083)\approx -0,04082.
Agora plugamos tudo em v_y:
v_y(1,5,t)= -\frac{125,7}{2}\cdot \sin(1,575)\cdot \sin(141,4125).
Numéricamente,
-\frac{125,7}{2}= -62,85,
\sin(1,575)\approx 0,999996,
\sin(141,4125)\approx -0,04082.
Multiplicando:
v_y\approx -62,85\times 0,999996\times (-0,04082)\approx +2,5657\\ \mathrm{cm/s}.
Arredondando com razoável precisão:
v_y\approx 2,57\\ \mathrm{cm/s}.
Em metros por segundo:
v_y\approx 0,0257\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) Amplitude espacial A(x)=\dfrac{1}{2}\sin\!\bigl(1,05\,x\bigr). Amplitude máxima \dfrac{1}{2}. Amplitude de cada onda viajante \dfrac{1}{4}.\n(b) Velocidade das ondas v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{125,7}{1,05}\approx 119,7\\ \mathrm{cm/s} (≈ 1,197\\ \mathrm{m/s}).\n(c) Distância entre nós \Delta x=\dfrac{\pi}{k}=\dfrac{\pi}{1,05}\approx 2,993\\ \mathrm{cm}.\n(d) Velocidade transversal em x=1,5\\ \mathrm{cm}, t=\tfrac{9}{8}\\ \mathrm{s}: v_y\approx 2,57\\ \mathrm{cm/s} (≈ 0,0257\\ \mathrm{m/s}).

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