17 - Mostre que i(t)=i_{0} e^{-t / \tau} é a solução da equação diferencial i R+L \frac{d i}{d t}=0 onde i_{0} é a corrente em t=0 e \tau=L / R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \,i(t)=i_{0} e^{-t / \tau}\, é solução da equação diferencial
iR + L\frac{di}{dt}=0,
onde as informações dadas são:
i(0)=i_{0}\quad\text{e}\quad \tau=\frac{L}{R}.
Ou seja: devemos partir da equação diferencial linear de primeira ordem homogênea com coeficientes constantes e obter uma expressão para i(t) que satisfaça a equação e a condição inicial. Também temos que relacionar o coeficiente da exponencial com \tau.

Passo 2

Vamos reescrever a equação isolando a derivada para deixar explícita a taxa de variação de i. A equação
iR + L\frac{di}{dt}=0
pode ser rearranjada subtraindo iR de ambos os lados e dividindo por L, obtendo
\frac{di}{dt} = -\frac{R}{L}\,i.
Aqui, \frac{di}{dt} é a derivada de i em relação ao tempo t. A forma \frac{di}{dt}=k\,i (com k constante) é a equação típica cuja solução é exponencial — vou explicar isso no próximo passo.

Passo 3

Método: separação de variáveis. A ideia é escrever todos os termos com i de um lado e os termos com t do outro, para podermos integrar facilmente. A equação
\frac{di}{dt} = -\frac{R}{L}\,i
pode ser escrita como
\frac{1}{i}\,di = -\frac{R}{L}\,dt.
Explicação didática: separar variáveis significa tratar di e i como quantidades relacionadas e rearranjar para integrar. Isso é permitido porque estamos supondo que i(t) é uma função diferenciável e, em intervalos onde i\neq 0, podemos dividir por i.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação ao seu respectivo variável. Integramos o lado esquerdo em i e o direito em t:
\int \frac{1}{i}\,di = \int -\frac{R}{L}\,dt.
As integrais são básicas: \int \frac{1}{i}\,di = \ln|i| + C_1 e \int -\frac{R}{L}\,dt = -\frac{R}{L}t + C_2. Podemos juntar as constantes de integração em uma única constante C. Portanto
\ln|i| = -\frac{R}{L}t + C,
onde C é uma constante real que será determinada pela condição inicial. Observação sobre o valor absoluto: usamos \ln|i| porque a integral de 1/i dá logaritmo do valor absoluto; mais adiante veremos que a constante permite abarcar casos com i_0 negativo.

Passo 5

Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo, obtemos
|i| = e^{C} e^{-\frac{R}{L}t}.
Definindo A=e^{C}>0 (uma constante positiva), temos |i|=A e^{-(R/L)t}. Isso implica que i tem a forma
i(t)=\pm A e^{-\frac{R}{L}t}.
Mas podemos absorber o sinal em uma única constante C' que pode ser positiva ou negativa, escrevendo a solução geral como
i(t)=C' e^{-\frac{R}{L}t},
onde C' é uma constante real (não necessariamente positiva). Esse é o formato esperado: exponencial multiplicada por uma constante.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial \,i(0)=i_{0}\, para determinar C'. Substituindo t=0 na solução geral:
i(0)=C' e^{0}=C' = i_{0}.
Logo C'=i_{0} e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
i(t)=i_{0} e^{-\frac{R}{L}t}.

Passo 7

Agora usamos a definição de \tau. Como \tau=\dfrac{L}{R}, temos \dfrac{R}{L}=\dfrac{1}{\tau}. Substituindo na expressão acima obtemos a forma pedida:
i(t)=i_{0} e^{-t/\tau}.
Explicação intuitiva: \tau é a constante de tempo do circuito RL; quando t=\tau a corrente caiu para um fator e^{-1} do valor inicial.

Passo 8

Verificação direta (boa prática): derivamos a solução encontrada e substituímos na equação original para confirmar que funciona. A derivada de i(t)=i_{0} e^{-(R/L)t} é
\frac{di}{dt} = -\frac{R}{L} i_{0} e^{-\frac{R}{L}t} = -\frac{R}{L} i(t).
Substituindo em iR + L\frac{di}{dt} obtemos
iR + L\frac{di}{dt} = iR + L\left(-\frac{R}{L}i\right) = iR - R i = 0,
portanto a solução satisfaz a equação diferencial.

Resposta

\displaystyle i(t)=i_{0} e^{-t/\tau}

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