17 - Mostre que
é a solução da equação diferencial
onde
é a corrente em
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é solução da equação diferencial
onde as informações dadas são:
Ou seja: devemos partir da equação diferencial linear de primeira ordem homogênea com coeficientes constantes e obter uma expressão para
que satisfaça a equação e a condição inicial. Também temos que relacionar o coeficiente da exponencial com
.
Passo 2
Vamos reescrever a equação isolando a derivada para deixar explícita a taxa de variação de
. A equação
pode ser rearranjada subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
, obtendo
Aqui,
é a derivada de
em relação ao tempo
. A forma
(com
constante) é a equação típica cuja solução é exponencial — vou explicar isso no próximo passo.
Passo 3
Método: separação de variáveis. A ideia é escrever todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro, para podermos integrar facilmente. A equação
pode ser escrita como
Explicação didática: separar variáveis significa tratar
e
como quantidades relacionadas e rearranjar para integrar. Isso é permitido porque estamos supondo que
é uma função diferenciável e, em intervalos onde
, podemos dividir por
.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação ao seu respectivo variável. Integramos o lado esquerdo em
e o direito em
:
As integrais são básicas:
e
. Podemos juntar as constantes de integração em uma única constante
. Portanto
onde
é uma constante real que será determinada pela condição inicial. Observação sobre o valor absoluto: usamos
porque a integral de
dá logaritmo do valor absoluto; mais adiante veremos que a constante permite abarcar casos com
negativo.
Passo 5
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo, obtemos
Definindo
(uma constante positiva), temos
. Isso implica que
tem a forma
Mas podemos absorber o sinal em uma única constante
que pode ser positiva ou negativa, escrevendo a solução geral como
onde
é uma constante real (não necessariamente positiva). Esse é o formato esperado: exponencial multiplicada por uma constante.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na solução geral:
Logo
e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Agora usamos a definição de
. Como
, temos
. Substituindo na expressão acima obtemos a forma pedida:
Explicação intuitiva:
é a constante de tempo do circuito RL; quando
a corrente caiu para um fator
do valor inicial.
Passo 8
Verificação direta (boa prática): derivamos a solução encontrada e substituímos na equação original para confirmar que funciona. A derivada de
é
Substituindo em
obtemos
portanto a solução satisfaz a equação diferencial.