Uma espira plana e circular de raio r= 75 cm está em repouso numa região de campo magnético uniforme. A espira está orientada de tal forma que o campo magnético aponta para cima e faz um ângulo de 30^{\circ} \mathrm{com} a normal da espira. O campo varia com o tempo de acordo com B(t)=1,4 e^{-(0,057 t)} Tesla. (a) Determine a fem induzida na espira em função do tempo. (b) Para que valor de t a fem induzida é igual a um décimo do seu valor inicial? Determine o sentido da corrente induzida na espira, se observada por cima da espira.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
r=75\\ \text{cm}=0,75\\ \mathrm{m}
B(t)=1,4\,e^{-(0,057t)}\\ \mathrm{T}
O campo magnético aponta para cima e faz um ângulo de 30^\circ com a normal da espira. Perguntas:
  1. (a) Determinar a fem induzida na espira em função do tempo.
  2. (b) Para que valor de t a fem induzida é igual a um décimo do seu valor inicial?
  3. Determinar o sentido da corrente induzida observada por cima da espira.

Passo 2

Definimos o fluxo magnético \Phi através da espira e explicamos cada coisa:
\Phi(t)=\vec{B}(t)\cdot\vec{A}=B(t)\,A\cos\theta.
Aqui:
  • B(t) é o módulo do campo magnético (dado).
  • A é a área da espira circular; A=\pi r^{2}.
  • \theta é o ângulo entre \vec{B} e a normal da espira; aqui \theta=30^\circ.
    Calculamos a área:
A=\pi r^{2}=\pi(0,75)^{2}=\pi\cdot0,5625.
Se quiser um valor numérico:
A\approx\pi\cdot0,5625\approx1,7671\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Substituímos A e \theta no fluxo. Observação: \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254.
\Phi(t)=B(t)\,A\cos30^\circ = \bigl(1,4\,e^{-(0,057t)}\bigr)\;A\;\cos30^\circ.
Mantendo simbólico por enquanto:
\Phi(t)=1,4\,e^{-(0,057t)}\;A\cos30^\circ.

Passo 4

Usamos a lei de Faraday (forma integral para uma espira): a fem induzida \varepsilon é
\varepsilon(t)=-\frac{d\Phi}{dt}.
Explicando: \varepsilon tem sinal que indica o sentido imposto pela corrente induzida (Lenz) para se opor à variação do fluxo. Como A e \cos30^\circ são constantes, podemos derivar só B(t):
\frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(1,4\,e^{-(0,057t)}\bigr)=1,4\cdot(-0,057)\,e^{-(0,057t)}=-0,0798\,e^{-(0,057t)}.
Logo
\frac{d\Phi}{dt}=A\cos30^\circ\cdot\frac{dB}{dt}=A\cos30^\circ\cdot\bigl(-0,0798\,e^{-(0,057t)}\bigr).
Aplicando Faraday:
\varepsilon(t)=-\frac{d\Phi}{dt}= -\bigl[A\cos30^\circ\cdot(-0,0798\,e^{-(0,057t)})\bigr]=A\cos30^\circ\cdot0,0798\,e^{-(0,057t)}.

Passo 5

Agora calculamos numericamente o coeficiente A\cos30^\circ\cdot0,0798.
Primeiro A\cos30^\circ:
A\cos30^\circ=(\pi\cdot0,5625)\cdot0,8660254\approx1,7671\cdot0,8660254\approx1,5303.
Multiplicando por 0,0798:
1,5303\cdot0,0798\approx0,1221.
Portanto a fem induzida, em unidades de volts, fica aproximadamente
\varepsilon(t)\approx0,1221\,e^{-(0,057t)}\\ \mathrm{V}.
(Arredondando, podemos escrever \varepsilon(t)\approx0,122\,e^{-(0,057t)}\\ \mathrm{V}.)

Passo 6

Para a parte (b): queremos t tal que \varepsilon(t)=\dfrac{1}{10}\varepsilon(0).
Observação: \varepsilon(0)=0,1221\,e^{0}=0,1221\\ \mathrm{V}. Como \varepsilon(t)=\varepsilon(0)\,e^{-(0,057t)}, temos
\frac{\varepsilon(t)}{\varepsilon(0)}=e^{-(0,057t)}=\frac{1}{10}.
Tomando logaritmo natural:
-(0,057t)=\ln\!\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)=-\ln 10.
Logo
t=\frac{\ln 10}{0,057}.
Calculando numericamente ( \ln 10\approx2,302585):
t\approx\frac{2,302585}{0,057}\approx40,4\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Sentido da corrente induzida (explicação física, passo a passo):
  • O campo externo \vec{B} aponta para cima e seu módulo está diminuindo com o tempo (porque B(t) decresce exponencialmente).
  • O fluxo magnético positivo para cima está diminuindo; Lenz diz que a corrente induzida cria um campo magnético que se opõe a essa variação — portanto a corrente induzida deve criar um campo adicional apontando para cima (para tentar manter o fluxo).
  • Usando a regra da mão direita: uma corrente que gera campo para cima circula no sentido anti-horário visto de cima (os dedos enrolados no sentido da corrente dão o polegar apontando para cima).
    Conclusão: a corrente induzida é anti-horária (contrária ao sentido dos ponteiros do relógio) quando observada por cima.

Resposta

(a) \displaystyle \varepsilon(t)\approx0,1221\,e^{-(0,057t)}\\ \mathrm{V}
(b) \displaystyle t\approx40,4\\ \mathrm{s}
Sentido da corrente (visto de cima): anti-horário.

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