Num circuito RLC, L=0,28 H e C=4 \mu F. A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 V . Qual é a frequência angular de ressonância do circuito? (b) Quando a fonte opera na frequência angular de ressonância, a amplitude da corrente no circuito é 1,7 A. Qual a resistência do resistor? (c) Na frequência angular de ressonância, quais são as voltagens de pico no indutor, capacitor e resistor?

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a frequência angular de ressonância do circuito; (b) a resistência do resistor sabendo que, na ressonância, a amplitude da corrente é 1,7\\ \mathrm{A}; (c) na ressonância, as tensões de pico (amplitudes) no indutor, no capacitor e no resistor.
As informações dadas são: L=0,28\\ \mathrm{H}, C=4\\ \mu\mathrm{F} (ou seja C=4\times10^{-6}\\ \mathrm{F}), e a fonte fornece tensão de amplitude 120\\ \mathrm{V}. Para a parte (b) é dado que, na ressonância, a amplitude da corrente é 1,7\\ \mathrm{A}.

Passo 2

Fórmula da frequência angular de ressonância: a ressonância elétrica de um circuito série RLC ocorre quando a reatância indutiva e a capacitiva se anulam. A frequência angular de ressonância \omega_0 é dada por
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Aqui \omega_0 tem unidade de \mathrm{rad/s}, L em henries ( \mathrm{H}) e C em farads ( \mathrm{F}). Vou aplicar a fórmula com os valores fornecidos.

Passo 3

Calcular LC e em seguida \omega_0. Primeiro converter C:
C=4\\ \mu\mathrm{F}=4\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Agora
LC = 0,28\times 4\times10^{-6} = 1,12\times10^{-6}.
A raiz quadrada é
\sqrt{LC}=\sqrt{1,12\times10^{-6}}=1,058300524\times10^{-3}.
Portanto
\omega_0=\frac{1}{1,058300524\times10^{-3}}\approx 944,9\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Interpretação útil para a prova: na ressonância do circuito série RLC, as reatâncias têm igual magnitude e sinais opostos ( X_L=X_C em módulo), de modo que a impedância total é puramente resistiva e vale Z=R. Assim a amplitude da corrente é simplesmente dada por I_{\text{p}}=V_{\text{p}}/R. Vamos usar isso na parte (b).

Passo 5

Calcular a resistência R usando a lei de Ohm para amplitudes na ressonância:
R=\frac{V_{\text{p}}}{I_{\text{p}}}.
Substituindo V_{\text{p}}=120\\ \mathrm{V} e I_{\text{p}}=1,7\\ \mathrm{A},
R=\frac{120}{1,7}\approx 70,588235\\ \Omega.
Arredondando convenientemente para uso prático: R\approx 70,6\\ \Omega.

Passo 6

Agora precisamos das reatâncias para calcular as tensões no indutor e no capacitor. As fórmulas são
X_L=\omega_0 L,\qquad X_C=\frac{1}{\omega_0 C}.
Em ressonância os módulos coincidem, então basta calcular uma delas com \omega_0 já encontrado. Calcule X_L:
X_L=\omega_0 L \approx 944,9\times 0,28 \approx 264,6\\ \Omega.
(Confirme que X_C terá o mesmo valor em módulo.)

Passo 7

As tensões de pico nas três componentes são obtidas por V_{\text{p}}=I_{\text{p}}\times (impedância da componente):
  • Para o resistor:
V_{R,\text{p}}=I_{\text{p}}R.
Substituindo: V_{R,\text{p}}=1,7\times 70,588235\approx 120\\ \mathrm{V}. Observação: isso é esperado porque na ressonância a queda no resistor é igual à tensão da fonte (impedância total é R).
  • Para o indutor:
V_{L,\text{p}}=I_{\text{p}}X_L \approx 1,7\times 264,6 \approx 449,8\\ \mathrm{V}.
  • Para o capacitor:
V_{C,\text{p}}=I_{\text{p}}X_C.
Em módulo X_C=X_L, logo
V_{C,\text{p}}\approx 449,8\\ \mathrm{V}.
Nota didática: embora V_{L,\text{p}} e V_{C,\text{p}} sejam muito maiores que V_{R,\text{p}}, suas tensões estão defasadas entre si em 180^\circ (indutor à frente, capacitor atrasado), de modo que se anulam quando somadas em série, permanecendo só a queda resistiva igual à fonte.

Resposta

(a) \omega_0\approx 944,9\\ \mathrm{rad/s}
(b) R\approx 70,6\\ \Omega
(c) V_{R,\text{p}}=120\\ \mathrm{V}
V_{L,\text{p}}\approx 449,8\\ \mathrm{V}
V_{C,\text{p}}\approx 449,8\\ \mathrm{V}

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