Num circuito RLC,
e
. A fonte fornece uma voltagem com amplitude de 120 V . Qual é a frequência angular de ressonância do circuito? (b) Quando a fonte opera na frequência angular de ressonância, a amplitude da corrente no circuito é
. Qual a resistência do resistor? (c) Na frequência angular de ressonância, quais são as voltagens de pico no indutor, capacitor e resistor?
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) a frequência angular de ressonância do circuito; (b) a resistência do resistor sabendo que, na ressonância, a amplitude da corrente é
; (c) na ressonância, as tensões de pico (amplitudes) no indutor, no capacitor e no resistor.
As informações dadas são: ,
(ou seja
), e a fonte fornece tensão de amplitude
. Para a parte (b) é dado que, na ressonância, a amplitude da corrente é
.
As informações dadas são:
Passo 2
Fórmula da frequência angular de ressonância: a ressonância elétrica de um circuito série RLC ocorre quando a reatância indutiva e a capacitiva se anulam. A frequência angular de ressonância
é dada por
Aqui
tem unidade de
,
em henries (
) e
em farads (
). Vou aplicar a fórmula com os valores fornecidos.
Passo 3
Calcular
e em seguida
. Primeiro converter
:
Agora
A raiz quadrada é
Portanto
Passo 4
Interpretação útil para a prova: na ressonância do circuito série RLC, as reatâncias têm igual magnitude e sinais opostos (
em módulo), de modo que a impedância total é puramente resistiva e vale
. Assim a amplitude da corrente é simplesmente dada por
. Vamos usar isso na parte (b).
Passo 5
Calcular a resistência
usando a lei de Ohm para amplitudes na ressonância:
Substituindo
e
,
Arredondando convenientemente para uso prático:
.
Passo 6
Agora precisamos das reatâncias para calcular as tensões no indutor e no capacitor. As fórmulas são
Em ressonância os módulos coincidem, então basta calcular uma delas com
já encontrado. Calcule
:
(Confirme que
terá o mesmo valor em módulo.)
Passo 7
As tensões de pico nas três componentes são obtidas por
(impedância da componente):
- Para o resistor:
Substituindo:
. Observação: isso é esperado porque na ressonância a queda no resistor é igual à tensão da fonte (impedância total é
).
- Para o indutor:
- Para o capacitor:
Em módulo
, logo
Nota didática: embora
e
sejam muito maiores que
, suas tensões estão defasadas entre si em
(indutor à frente, capacitor atrasado), de modo que se anulam quando somadas em série, permanecendo só a queda resistiva igual à fonte.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)