*17. Se
e
são transposições distintas de
, mostre que
é de ordem dois ou três. [Dica: considere os casos
e
e
.]
Passo 1
O enunciado dá que
e
são transposições distintas em
e pede para mostrar que o produto
tem ordem
ou
.
Informações relevantes fornecidas:
-
e são transposições (cada uma troca dois elementos). - As transposições são distintas (logo não são exatamente a mesma troca).
- Pedir para determinar a ordem de
.
O que devemos provar (de forma clara):
- Se
e são disjuntas (têm suporte sem interseção), então tem ordem . - Se
e têm exatamente um elemento em comum, então tem ordem .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e fixar convenções e definições importantes (aqui ensino como usar isso na prova):
- Uma transposição é uma permutação que troca dois elementos e fixa todos os outros. Notação:
troca com e fixa os demais. - A ordem de uma permutação
, denotada , é o menor inteiro positivo tal que (a identidade). - Convenção de composição:
significa "aplicar primeiro, depois ". Assim, . - Fato útil (que pode ser usado na prova): disjuntas permutações com suportes disjuntos comutam (isto é, se duas permutações agem em conjuntos de elementos distintos, aplicar uma e depois a outra dá o mesmo que aplicar na ordem inversa).
Passo 3
Análise dos possíveis tipos de interseção dos suportes das transposições
e
.
Sejam
e
(as letras indicam os elementos permutados). Como as transposições são distintas, existem só duas possibilidades para os conjuntos
e
:
- Caso A: os conjuntos são disjuntos (nenhum elemento em comum).
- Caso B: os conjuntos têm exatamente um elemento em comum (por exemplo escolher representação
, ). Não pode haver interseção de dois elementos sem que as transposições sejam iguais (o que foi excluído), portanto não há outras possibilidades.
Vamos tratar separadamente os dois casos sugeridos pelo enunciado.
Passo 4
Caso A — transposições disjuntas. Suponha
com
.
Explicação didática: cada transposição troca apenas seus dois elementos; se os pares são disjuntos, então ao aplicar uma transposição nenhuma das posições trocadas pela outra é afetada. Logo aplicar
e depois
é o mesmo que aplicar
e depois
— elas comutam.
Formalmente, para qualquer
:
- Se
, então e . - Se
, então e . - Se
não está em nenhum dos pares, ambos fixam .
Portanto
e a composição é simplesmente a permutação que faz as duas trocas independentes, isto é, é a produto de duas transposições disjuntas.
Agora calculemos o quadrado:
Como
e
comutam, isso é
Cada transposição tem quadrado a identidade:
e
. Logo
Como
não é a identidade (pois cada uma altera coisas), a menor potência positiva que dá a identidade é
. Conclusão: neste caso
.
Passo 5
Comentário prático (fórmula útil para a prova): quando uma permutação se decompõe em ciclos disjuntos, a ordem é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos desses ciclos. Aqui a decomposição é dois 2-ciclos disjuntos, então
. Isso é uma maneira rápida de ver o mesmo resultado em prova sem fazer a conta de comutatividade.
Passo 6
Caso B — transposições com um elemento em comum. Pelo enunciado e dica, tome
onde
são todos distintos.
Vamos calcular a imagem de cada
por
lembrando que se aplica
primeiro e depois
.
Calculemos passo a passo:
- Para
: Como troca somente e , . Então . Logo - Para
: E não mexe em , então . Logo - Para
: Porque troca e .
Portanto, sobre
a permutação
faz
ou seja, é o 3-ciclo
.
Qualquer elemento distinto de
é fixado por ambas as transposições, logo também é fixado por
. Assim
como permutação em
.
Passo 7
Agora a ordem de um ciclo de comprimento
é
. Isso é uma propriedade básica:
e nenhuma potência menor que
dá a identidade. Aplicando aqui com
, obtemos
Também pode-se verificar diretamente:
confirmando que a ordem é exatamente
.
Passo 8
Conclusão final (resumindo de forma que você pode escrever rápido na prova):
- Se as transposições
e são disjuntas, é produto de duas transposições disjuntas e tem ordem . - Se elas têm exatamente um elemento em comum,
é um 3-ciclo e tem ordem .
Prontinho — essa é a enumeração completa dos casos. Vai tranquilo na prova: identifique se os pares são disjuntos ou se compartilham um elemento e aplique a regra acima. Força que você tira isso!
Resposta
Se
e
são disjuntas,
.
Se e
têm exatamente um elemento em comum,
.
Se