*16. Considere a função f: I_{10} \rightarrow I_{10} dada por { }^{7} f(n)=r, em que r é o resto da divisão de 4 n^{2}-3 n^{7} por 11 .
a) Mostre que f é uma permutação, ou seja, f \in S_{10}.
b) Determine a paridade de f.

Passo 1

O enunciado dá uma função f: I_{10}\to I_{10} definida assim: para cada n\in I_{10} (interpreta-se aqui I_{10}=\{1,2,\dots,10\}), f(n)=r onde r é o resto da divisão de 4n^{2}-3n^{7} por 11.
O que o problema pede:
  • (a) Mostrar que f é uma permutação de I_{10}, isto é, f\in S_{10}.
  • (b) Determinar a paridade de f (se f é par ou ímpar).
Informações relevantes fornecidas:
  • A operação de resto é tomada módulo 11 (ou seja, trabalhamos em \mathbb{Z}_{11}).
  • O domínio contém exatamente os inteiros 1,2,\dots,10 (todos coprimos com 11), logo para todo n\in I_{10} vale \,n^{10}\equiv1\pmod{11} (Teorema de Fermat).

Passo 2

Usar aritmética modular e o Teorema de Fermat para simplificar a fórmula de f.
Pelo Teorema de Fermat, para todo n\in I_{10} temos
n^{10}\equiv1\pmod{11}.
Dessa igualdade segue que (n^{5})^{2}\equiv1, isto é, para cada n\in I_{10} vale
n^{5}\equiv\pm1\pmod{11}.
Agora fatoramos a expressão que define f:
4n^{2}-3n^{7}=n^{2}\bigl(4-3n^{5}\bigr).
Portanto, dependendo de n^{5} (ser 1 ou -1 em \mathbb{Z}_{11}), o valor de f(n) toma duas formas simples.

Passo 3

Separar os casos e descrever explicitamente f.
Defina os subconjuntos
A=\{\,n\in I_{10}\mid n^{5}\equiv1\pmod{11}\,\}, \qquad B=\{\,n\in I_{10}\mid n^{5}\equiv-1\pmod{11}\,\}.
Como (n^{5})^{2}=1, cada n pertence a exatamente um dos conjuntos A ou B; e como o grupo multiplicativo \mathbb{Z}_{11}^{\times} tem ordem 10, temos |A|=5 e |B|=5.
Usando a fatoração do passo anterior:
  • Se n\in A (ou seja n^{5}\equiv1), então
f(n)\equiv n^{2}\pmod{11}.
  • Se n\in B (ou seja n^{5}\equiv-1), então
f(n)\equiv n^{2}\bigl(4-3(-1)\bigr)=n^{2}\cdot7\pmod{11},
ou seja f(n)\equiv7n^{2}\pmod{11}.
Concluímos a fórmula compacta:
f(n)=\begin{cases} n^{2}, & n\in A,\\[4pt] 7n^{2}, & n\in B. \end{cases}]

Passo 4

Mostrar que f é bijetora (logo uma permutação) usando a estrutura dos subconjuntos A e B.
Observações úteis (explicadas de forma simples):
  • A é um subgrupo cíclico de ordem 5 de \mathbb{Z}_{11}^{\times}. Numa grupo cíclico de ordem 5 a aplicação x\mapsto x^{2} é um automorfismo porque \gcd(2,5)=1. Logo, a restrição n\mapsto n^{2} é bijetiva de A sobre A.
  • Para n\in B temos n^{2}\in A (pois (n^{2})^{5}=n^{10}\equiv1), ou seja, o mapa n\mapsto n^{2} envia B em A. Esse mapa B\to A é bijetivo porque, em termos de expoentes em um gerador de \mathbb{Z}_{11}^{\times}, multiplica índices ímpares por 2 e isso é bijeção entre índices ímpares e índices pares modulo 10.
  • A multiplicação por 7 é bijetora em \mathbb{Z}_{11}^{\times} (pois 7 tem inverso módulo 11). Além disso, calcula-se que
7^{5}\equiv-1\pmod{11},
logo 7\in B. Assim a multiplicação por 7 envia A bijetivamente em 7A, e como 7\in B tem-se 7A=B (um coseto do subgrupo A).
Agora combine:
  • Para n\in B, n\mapsto n^{2} é bijeção B\to A e depois multiplicar por 7 é bijeção A\to B. Logo n\mapsto7n^{2} é bijeção B\to B.
  • Para n\in A, n\mapsto n^{2} é bijeção A\to A.
Portanto f é bijetora em A e em B simultaneamente, logo f é bijetora em I_{10}. Conclui-se que f é permutação de I_{10}, isto é f\in S_{10}.

Passo 5

Para determinar a paridade de f é conveniente obter a decomposição em ciclos. Vamos escolher um gerador explícito de \mathbb{Z}_{11}^{\times} e calcular imagens concretas (isso é seguro e didático).
Tomemos g=2. Verifica-se que 2^{10}\equiv1 e 2^{5}\equiv-1, portanto 2 é gerador de \mathbb{Z}_{11}^{\times}. Assim podemos listar os elementos:
\begin{aligned} 2^{0}&\equiv1,\quad 2^{1}\equiv2,\quad 2^{2}\equiv4,\quad 2^{3}\equiv8,\quad 2^{4}\equiv5,\\\\ 2^{5}&\equiv10,\quad 2^{6}\equiv9,\quad 2^{7}\equiv7,\quad 2^{8}\equiv3,\quad 2^{9}\equiv6. \end{aligned}
Dessa listagem obtemos os subconjuntos A e B:
A=\{1,4,5,9,3\},\qquad B=\{2,8,10,7,6\}.

Passo 6

Calcular f(n) para cada n\in I_{10} usando as fórmulas do passo 3 e montar os ciclos.
Para n\in A (usar f(n)=n^{2}):
\begin{aligned} f(1)&=1^{2}\equiv1,\\\ f(4)&\equiv4^{2}=16\equiv5,\\\ f(5)&\equiv5^{2}=25\equiv3,\\\ f(3)&\equiv3^{2}=9,\\\ f(9)&\equiv9^{2}=81\equiv4. \end{aligned}
Logo a ação em A é os ciclos (1) e (4\;5\;3\;9).
Para n\in B (usar f(n)=7n^{2}):
\begin{aligned} f(2)&\equiv7\cdot2^{2}=7\cdot4=28\equiv6,\\\ f(8)&\equiv7\cdot8^{2}=7\cdot64=7\cdot9=63\equiv8,\\\ f(10)&\equiv7\cdot10^{2}=7\cdot100=7\cdot1=7,\\\ f(7)&\equiv7\cdot7^{2}=7\cdot49=7\cdot5=35\equiv2,\\\ f(6)&\equiv7\cdot6^{2}=7\cdot36=7\cdot3=21\equiv10. \end{aligned}
Logo a ação em B é os ciclos (8) e (2\;6\;10\;7).
Juntando tudo, a decomposição em ciclos de f em I_{10} é
(1)(8)(4\;5\;3\;9)(2\;6\;10\;7).

Passo 7

Calcular a paridade usando a decomposição em ciclos.
Lembrete rápido: um ciclo de comprimento k é produto de k-1 transposições, logo tem sinal (-1)^{k-1}. Na decomposição acima temos dois 1-ciclos (fixos) e duas 4-ciclos. Cada 4-ciclo tem sinal (-1)^{4-1}=(-1)^{3}=-1. O sinal total de f é o produto dos sinais dos ciclos:
\operatorname{sgn}(f)=(-1)\cdot(-1)=+1.
Portanto f é uma permutação par.

Resposta

f\in S_{10}
f é par

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