Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
a) O produto de dois ciclos em
é sempre um ciclo.
b) O comprimento de um ciclo
é igual ao comprimento de sua maior órbita.
c) As permutações
e
, em que
, têm a mesma paridade.
d) Se
é uma fatoração completa de
, sendo
de comprimento
, então
.
e) O produto de duas permutações ímpares é ímpar.
f) O conjunto
das permutações ímpares de
é um subgrupo de
.
g) O grupo alternado
é isomorfo a
.
a) O produto de dois ciclos em
b) O comprimento de um ciclo
c) As permutações
d) Se
e) O produto de duas permutações ímpares é ímpar.
f) O conjunto
g) O grupo alternado
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das afirmações (a)–(g) é verdadeira ou falsa e justificar cada decisão. As afirmações são:
(a) O produto de dois ciclos em
é sempre um ciclo.
(b) O comprimento de um ciclo
é igual ao comprimento de sua maior órbita.
(c) As permutações
e
, em que
, têm a mesma paridade.
(d) Se
é uma fatoração completa de
, sendo
de comprimento
, então
.
(e) O produto de duas permutações ímpares é ímpar.
(f) O conjunto
das permutações ímpares de
é um subgrupo de
.
(g) O grupo alternado
é isomorfo a
.
Informações implícitas que vamos usar (fornecidas pelo enunciado): estamos trabalhando com o grupo simétrico
; existem ciclos, órbitas da ação natural sobre
, paridade (permutação par/ímpar), decomposição em ciclos (fatoração completa geralmente significa decomposição em ciclos disjuntos que cobrem todos os elementos),
denota o conjunto das permutações ímpares, e
é o subgrupo das permutações pares em
.
Passo 2
Antes de atacar cada item, lembrinhas úteis (bem mastigadas) que vou usar em várias justificativas:
-
Definição de ciclo e comprimento: um ciclo de comprimento
em é uma permutação que move exatamente elementos numa rotação, escrita como . Esse ciclo envia e fixa os outros elementos. O número é o comprimento do ciclo. -
Órbita de um elemento sob
: para e , a órbita de é . Em palavras: todos os pontos que se obtêm aplicando repetidamente a . Órbitas particionam . -
Decomposição em ciclos disjuntos: toda permutação pode ser escrita (de modo essencialmente único, até reordem e rotação de cada ciclo) como produto de ciclos disjuntos. Esses ciclos disjuntos têm suportes disjuntos e as suas somas de tamanhos (se incluirmos ciclos de comprimento
para pontos fixos) cobrem todos os elementos. -
Transposições e paridade: uma transposição é um ciclo de comprimento
. Toda permutação pode ser escrita como produto de transposições; o número par ou ímpar de transposições nessa escrita (mod ) é bem definido. Se o número for par dizemos que a permutação é par; se for ímpar, é ímpar. Denotamos por o sinal de , com se é produto de transposições. A função é um homomorfismo de grupos: .
Com essas ferramentas, vamos analisar cada item com exemplos e provas curtas.
Passo 3
Afirmação (a): “O produto de dois ciclos em
é sempre um ciclo.”
-
Estratégia: mostrar que a afirmação é falsa dando um contraexemplo simples. Um contraexemplo basta.
-
Contraexemplo concreto: considere em
os ciclos disjuntos e . Cada um é um ciclo de comprimento . O produto (que aqui = ) é exatamente a permutação que troca e . Essa permutação não é um único ciclo: ela já está escrita como produto de dois ciclos disjuntos e não pode ser reescrita como um ciclo que percorra os quatro elementos de forma rotacional. Logo o produto de dois ciclos pode falhar em ser um ciclo. -
Conclusão para (a): a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação (b): “O comprimento de um ciclo
é igual ao comprimento de sua maior órbita.”
-
Explicação detalhada: se
é um ciclo de comprimento , por definição existe um conjunto de elementos tal que os permuta ciclicamente e fixa os demais. Pegue um desses elementos . A órbita de sob é , que tem exatamente elementos. Todos os outros pontos fora desse suporte são fixos por e portanto têm órbita de tamanho . Assim a maior órbita tem tamanho , que é precisamente o comprimento do ciclo. -
Exemplo rápido:
tem comprimento ; suas órbitas são (tamanho ) e (tamanho ). A maior órbita tem comprimento . -
Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (c): “As permutações
e
, em que
, têm a mesma paridade.”
-
Observação chave:
é conjugação de por . Conjugação preserva o tipo cíclico (comprimentos dos ciclos), e também preserva o sinal, por ser compatível com o homomorfismo sinal. -
Prova rápida usando sinal: como
é homomorfismo,
Mas
(já que
e seu inverso é ele mesmo), portanto os fatores
se cancelam e obtemos
Logo
tem exatamente a mesma paridade que
.
- Conclusão para (c): a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Afirmação (d): “Se
é uma fatoração completa de
, sendo
de comprimento
, então
.”
-
Interpretação de “fatoração completa”: geralmente isto significa a decomposição de
como produto de ciclos disjuntos que cobrem todos os elementos de . Nessa decomposição é costume incluir ciclos de comprimento para pontos fixos, de modo que cada elemento de pertence exatamente a um dos ciclos. -
Argumento: os ciclos disjuntos formam uma partição do conjunto
. Cada ciclo com comprimento contém exatamente elementos distintos. Como as classes (suportes) dos ciclos são disjuntas e juntas cobrem todo o conjunto, a soma dos tamanhos das classes é . Portanto
-
Observação importante (não para confundir): se por “fatoração” alguém entendesse apenas uma escrita qualquer como produto de ciclos (não necessariamente disjuntos nem cobrindo todos os pontos), a igualdade pode falhar. Mas para a decomposição padrão em ciclos disjuntos que cobre todos os elementos (fatoração completa), a igualdade vale.
-
Conclusão para (d): a afirmação é verdadeira (com a interpretação padrão de fatoração completa = decomposição em ciclos disjuntos que cobrem
).
Passo 7
Afirmação (e): “O produto de duas permutações ímpares é ímpar.”
- Uso da propriedade do sinal: para
,
Se
e
são ímpares então
. Então
ou seja,
é par, não ímpar.
-
Contraexemplo numérico para intuir: em
, tome e . Ambas são transposições (ímpares). O produto é um 3-ciclo que pode ser escrito como produto de duas transposições, portanto é par. -
Conclusão para (e): a afirmação é falsa.
Passo 8
Afirmação (f): “O conjunto
das permutações ímpares de
é um subgrupo de
.”
-
Lembrando definição de subgrupo: um subconjunto
de um grupo é subgrupo se contém a identidade, é fechado sob produto e fechado sob inversos (ou alguma forma equivalente). -
Verificação rápida: a identidade
é uma permutação par (pode ser escrita com zero transposições), logo . Já só por isso não contém a identidade e portanto não é subgrupo. -
Além disso, como vimos no item (e), o produto de duas permutações ímpares é par, logo
não é fechado sob produto. E o inverso de uma permutação ímpar também é ímpar (essa parte é verdadeira), mas a falha no conter a identidade e a falta de fechamento sob produto já bastam. -
Conclusão para (f): a afirmação é falsa.
Passo 9
Afirmação (g): “O grupo alternado
é isomorfo a
.”
-
Observação sobre ordens: ambos os grupos têm ordem
( e ), então a igualdade de ordem não garante isomorfismo — é condição necessária mas não suficiente. -
Teste rápido de propriedade estrutural:
é cíclico (existe um elemento de ordem ) e é abeliano (comutativo). Se fosse isomorfo a teria que ser cíclico e abeliano. -
Propriedades de
: em os possíveis ordens de elementos são ou . Não existe elemento de ordem (nem de ordem ou ). Concretamente, os elementos de são: a identidade (ordem ), três elementos do tipo produto de duas transposições disjuntas (por exemplo ) que têm ordem , e oito 3-ciclos que têm ordem . Logo não há elemento de ordem , portanto não é cíclico. -
Conclusão: como
é cíclico e não, não podem ser isomorfos. -
Conclusão para (g): a afirmação é falsa.
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Falsa
g) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Falsa
g) Falsa