Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
a) O produto de dois ciclos em S_{n} é sempre um ciclo.
b) O comprimento de um ciclo \alpha \in S_{n} é igual ao comprimento de sua maior órbita.
c) As permutações \alpha e \sigma \alpha \sigma^{-1}, em que \alpha, \sigma \in S_{n}, têm a mesma paridade.
d) Se \alpha=\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{k} \in S_{n} é uma fatoração completa de \alpha, sendo \sigma_{i} de comprimento m_{i}, então m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{k}=n.
e) O produto de duas permutações ímpares é ímpar.
f) O conjunto B_{n} das permutações ímpares de S_{n} é um subgrupo de S_{n}.
g) O grupo alternado A_{4} é isomorfo a \mathbb{Z}_{12}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das afirmações (a)–(g) é verdadeira ou falsa e justificar cada decisão. As afirmações são:
(a) O produto de dois ciclos em S_{n} é sempre um ciclo.
(b) O comprimento de um ciclo \alpha \in S_{n} é igual ao comprimento de sua maior órbita.
(c) As permutações \alpha e \sigma \alpha \sigma^{-1}, em que \alpha,\sigma \in S_{n}, têm a mesma paridade.
(d) Se \alpha=\sigma_{1}\sigma_{2}\ldots\sigma_{k}\in S_{n} é uma fatoração completa de \alpha, sendo \sigma_{i} de comprimento m_{i}, então m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{k}=n.
(e) O produto de duas permutações ímpares é ímpar.
(f) O conjunto B_{n} das permutações ímpares de S_{n} é um subgrupo de S_{n}.
(g) O grupo alternado A_{4} é isomorfo a \mathbb{Z}_{12}.
Informações implícitas que vamos usar (fornecidas pelo enunciado): estamos trabalhando com o grupo simétrico S_n; existem ciclos, órbitas da ação natural sobre \{1,\dots,n\}, paridade (permutação par/ímpar), decomposição em ciclos (fatoração completa geralmente significa decomposição em ciclos disjuntos que cobrem todos os elementos), B_n denota o conjunto das permutações ímpares, e A_4 é o subgrupo das permutações pares em S_4.

Passo 2

Antes de atacar cada item, lembrinhas úteis (bem mastigadas) que vou usar em várias justificativas:
  • Definição de ciclo e comprimento: um ciclo de comprimento m em S_n é uma permutação que move exatamente m elementos numa rotação, escrita como (a_1\,a_2\,\dots\,a_m). Esse ciclo envia a_1\mapsto a_2,\;a_2\mapsto a_3,\dots,a_m\mapsto a_1 e fixa os outros elementos. O número m é o comprimento do ciclo.
  • Órbita de um elemento sob \alpha: para \alpha\in S_n e x\in\{1,\dots,n\}, a órbita de x é \{\alpha^k(x)\mid k\in\mathbb{Z}\}. Em palavras: todos os pontos que se obtêm aplicando repetidamente \alpha a x. Órbitas particionam \{1,\dots,n\}.
  • Decomposição em ciclos disjuntos: toda permutação pode ser escrita (de modo essencialmente único, até reordem e rotação de cada ciclo) como produto de ciclos disjuntos. Esses ciclos disjuntos têm suportes disjuntos e as suas somas de tamanhos (se incluirmos ciclos de comprimento 1 para pontos fixos) cobrem todos os n elementos.
  • Transposições e paridade: uma transposição é um ciclo de comprimento 2. Toda permutação pode ser escrita como produto de transposições; o número par ou ímpar de transposições nessa escrita (mod 2) é bem definido. Se o número for par dizemos que a permutação é par; se for ímpar, é ímpar. Denotamos por \operatorname{sgn}(\pi)\in\{\pm1\} o sinal de \pi, com \operatorname{sgn}(\pi)=(-1)^{t} se \pi é produto de t transposições. A função \operatorname{sgn} é um homomorfismo de grupos: \operatorname{sgn}(\alpha\beta)=\operatorname{sgn}(\alpha)\operatorname{sgn}(\beta).
Com essas ferramentas, vamos analisar cada item com exemplos e provas curtas.

Passo 3

Afirmação (a): “O produto de dois ciclos em S_{n} é sempre um ciclo.”
  • Estratégia: mostrar que a afirmação é falsa dando um contraexemplo simples. Um contraexemplo basta.
  • Contraexemplo concreto: considere em S_{4} os ciclos disjuntos \tau_1=(1\,2) e \tau_2=(3\,4). Cada um é um ciclo de comprimento 2. O produto \tau_1\tau_2 (que aqui = (1\,2)(3\,4)) é exatamente a permutação que troca 1\leftrightarrow2 e 3\leftrightarrow4. Essa permutação não é um único ciclo: ela já está escrita como produto de dois ciclos disjuntos e não pode ser reescrita como um ciclo que percorra os quatro elementos de forma rotacional. Logo o produto de dois ciclos pode falhar em ser um ciclo.
  • Conclusão para (a): a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação (b): “O comprimento de um ciclo \alpha\in S_{n} é igual ao comprimento de sua maior órbita.”
  • Explicação detalhada: se \alpha é um ciclo de comprimento m, por definição existe um conjunto de m elementos \{a_1,\dots,a_m\} tal que \alpha os permuta ciclicamente e fixa os demais. Pegue um desses elementos a_1. A órbita de a_1 sob \alpha é \{a_1,a_2,\dots,a_m\}, que tem exatamente m elementos. Todos os outros pontos fora desse suporte são fixos por \alpha e portanto têm órbita de tamanho 1. Assim a maior órbita tem tamanho m, que é precisamente o comprimento do ciclo.
  • Exemplo rápido: \alpha=(1\,4\,3)\in S_5 tem comprimento 3; suas órbitas são \{1,4,3\} (tamanho 3) e \{2\},\{5\} (tamanho 1). A maior órbita tem comprimento 3.
  • Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (c): “As permutações \alpha e \sigma \alpha \sigma^{-1}, em que \alpha,\sigma\in S_{n}, têm a mesma paridade.”
  • Observação chave: \sigma\alpha\sigma^{-1} é conjugação de \alpha por \sigma. Conjugação preserva o tipo cíclico (comprimentos dos ciclos), e também preserva o sinal, por ser compatível com o homomorfismo sinal.
  • Prova rápida usando sinal: como \operatorname{sgn} é homomorfismo,
\operatorname{sgn}(\sigma\alpha\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\alpha)\operatorname{sgn}(\sigma^{-1}).
Mas \operatorname{sgn}(\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}(\sigma)^{-1}=\operatorname{sgn}(\sigma) (já que \operatorname{sgn}(\sigma)=\pm1 e seu inverso é ele mesmo), portanto os fatores \operatorname{sgn}(\sigma) se cancelam e obtemos
\operatorname{sgn}(\sigma\alpha\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}(\alpha).
Logo \sigma\alpha\sigma^{-1} tem exatamente a mesma paridade que \alpha.
  • Conclusão para (c): a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Afirmação (d): “Se \alpha=\sigma_{1}\sigma_{2}\ldots\sigma_{k}\in S_{n} é uma fatoração completa de \alpha, sendo \sigma_{i} de comprimento m_{i}, então m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{k}=n.”
  • Interpretação de “fatoração completa”: geralmente isto significa a decomposição de \alpha como produto de ciclos disjuntos que cobrem todos os elementos de \{1,\dots,n\}. Nessa decomposição é costume incluir ciclos de comprimento 1 para pontos fixos, de modo que cada elemento de \{1,\dots,n\} pertence exatamente a um dos ciclos.
  • Argumento: os ciclos disjuntos formam uma partição do conjunto \{1,\dots,n\}. Cada ciclo \sigma_i com comprimento m_i contém exatamente m_i elementos distintos. Como as classes (suportes) dos ciclos são disjuntas e juntas cobrem todo o conjunto, a soma dos tamanhos das classes é n. Portanto
m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{k}=n.
  • Observação importante (não para confundir): se por “fatoração” alguém entendesse apenas uma escrita qualquer como produto de ciclos (não necessariamente disjuntos nem cobrindo todos os pontos), a igualdade pode falhar. Mas para a decomposição padrão em ciclos disjuntos que cobre todos os elementos (fatoração completa), a igualdade vale.
  • Conclusão para (d): a afirmação é verdadeira (com a interpretação padrão de fatoração completa = decomposição em ciclos disjuntos que cobrem \{1,\dots,n\}).

Passo 7

Afirmação (e): “O produto de duas permutações ímpares é ímpar.”
  • Uso da propriedade do sinal: para \alpha,\beta\in S_n,
\operatorname{sgn}(\alpha\beta)=\operatorname{sgn}(\alpha)\operatorname{sgn}(\beta).
Se \alpha e \beta são ímpares então \operatorname{sgn}(\alpha)=\operatorname{sgn}(\beta)=-1. Então
\operatorname{sgn}(\alpha\beta)=(-1)\cdot(-1)=+1,
ou seja, \alpha\beta é par, não ímpar.
  • Contraexemplo numérico para intuir: em S_3, tome \alpha=(1\,2) e \beta=(1\,3). Ambas são transposições (ímpares). O produto (1\,2)(1\,3)=(1\,3\,2) é um 3-ciclo que pode ser escrito como produto de duas transposições, portanto é par.
  • Conclusão para (e): a afirmação é falsa.

Passo 8

Afirmação (f): “O conjunto B_{n} das permutações ímpares de S_{n} é um subgrupo de S_{n}.”
  • Lembrando definição de subgrupo: um subconjunto H de um grupo G é subgrupo se contém a identidade, é fechado sob produto e fechado sob inversos (ou alguma forma equivalente).
  • Verificação rápida: a identidade e\in S_n é uma permutação par (pode ser escrita com zero transposições), logo e\notin B_n. Já só por isso B_n não contém a identidade e portanto não é subgrupo.
  • Além disso, como vimos no item (e), o produto de duas permutações ímpares é par, logo B_n não é fechado sob produto. E o inverso de uma permutação ímpar também é ímpar (essa parte é verdadeira), mas a falha no conter a identidade e a falta de fechamento sob produto já bastam.
  • Conclusão para (f): a afirmação é falsa.

Passo 9

Afirmação (g): “O grupo alternado A_{4} é isomorfo a \mathbb{Z}_{12}.”
  • Observação sobre ordens: ambos os grupos têm ordem 12 ( |A_4|=12 e |\mathbb{Z}_{12}|=12), então a igualdade de ordem não garante isomorfismo — é condição necessária mas não suficiente.
  • Teste rápido de propriedade estrutural: \mathbb{Z}_{12} é cíclico (existe um elemento de ordem 12) e é abeliano (comutativo). Se A_4 fosse isomorfo a \mathbb{Z}_{12} teria que ser cíclico e abeliano.
  • Propriedades de A_4: em A_4 os possíveis ordens de elementos são 1,2 ou 3. Não existe elemento de ordem 12 (nem de ordem 6 ou 4). Concretamente, os elementos de A_4 são: a identidade (ordem 1), três elementos do tipo produto de duas transposições disjuntas (por exemplo (1\,2)(3\,4)) que têm ordem 2, e oito 3-ciclos que têm ordem 3. Logo não há elemento de ordem 12, portanto A_4 não é cíclico.
  • Conclusão: como \mathbb{Z}_{12} é cíclico e A_4 não, não podem ser isomorfos.
  • Conclusão para (g): a afirmação é falsa.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Falsa
g) Falsa

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