9.17 Obtenha a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{(z-2 i)(z-2)}
no disco |z-2|<2 \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{(z-2i)(z-2)}
em torno de z=2, válida no disco \lvert z-2\rvert<2\sqrt{2}.
O conteúdo aqui é escrever f em potências de w=z-2 usando expansão geométrica.

Passo 2

Defina
w = z-2, \qquad a = 2-2i,
de modo que
z-2 = w, \qquad z-2i = w + (2-2i) = w + a.
Então
f(z) = \frac{1}{(z-2)\,(z-2i)} = \frac{1}{w\,(a+w)} = \frac{1}{w}\,\frac{1}{a+w}.

Passo 3

Como \lvert w\rvert<\lvert a\rvert=|2-2i|=2\sqrt{2}, podemos usar a série geométrica
\frac{1}{a+w} = \frac{1}{a}\,\frac{1}{1 + \frac{w}{a}} = \frac{1}{a}\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{w}{a}\bigr)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}w^{n}}{a^{\,n+1}}.

Passo 4

Multiplicando por 1/w, obtemos a série de Laurent em potências de w:
f(z) = \frac{1}{w}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}w^{n}}{a^{\,n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{a^{\,n+1}}\,w^{\,n-1}.

Resposta

Usando w=z-2 e a=2-2i, a série de Laurent de f(z) em \lvert z-2\rvert<2\sqrt{2} é
\boxed{ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2-2i)^{\,n+1}}\,(z-2)^{\,n-1}, \quad |z-2|<2\sqrt{2}. }

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