9.16

a) Para |z|<1, encontre a série de Taylor de
f(z)=\frac{1}{(1+z)^{2}}
em torno de z=0.
b) Utilizando o resultado de (a), encontre a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{(z+i)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas expansões em torno de z=0. Primeiro, em (a) queremos a série de Taylor de
f(z)=\frac{1}{(1+z)^{2}}
válida para |z|<1. Em (b), usando o resultado de (a), queremos a série (de Laurent) de
g(z)=\frac{1}{(z+i)^{2}}
também centrada em 0.

Passo 2

Para achar a série de Taylor de \displaystyle \frac{1}{(1+z)^{2}} usamos que
\frac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n},\qquad |z|<1.
Derivando ambos os lados em relação a z e lembrando que
\frac{d}{dz}\Bigl(\tfrac{1}{1+z}\Bigr)=-\frac{1}{(1+z)^{2}},
temos
-\frac{1}{(1+z)^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty}n(-1)^{n}z^{n-1}.
Multiplicando por -1 e reindexando (tomando m=n-1) resulta
\frac{1}{(1+z)^{2}} =\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)(-1)^{m}z^{m}.

Passo 3

Portanto a série de Taylor para \displaystyle \frac{1}{(1+z)^{2}} é
\boxed{\frac{1}{(1+z)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(-1)^{n}z^{n},\qquad |z|<1.}

Passo 4

Agora em (b) definimos
g(z)=\frac{1}{(z+i)^{2}} =\frac{1}{i^{2}}\;\frac{1}{\bigl(1+\frac{z}{i}\bigr)^{2}} =-\,\frac{1}{\bigl(1+\frac{z}{i}\bigr)^{2}}.
Basta usar a série de (a) com z substituído por z/i:

Passo 5

Da fórmula de (a) segue
\frac{1}{\bigl(1+\tfrac{z}{i}\bigr)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(-1)^{n}\Bigl(\frac{z}{i}\Bigr)^{n}
e assim
g(z)=-\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(-1)^{n}\,i^{-n}z^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(-1)^{n+1}i^{-n}z^{n}.
Observando que i^{-n}=(1/i)^{n}=(-i)^{n}, podemos escrever de modo mais simples
\frac{1}{(z+i)^{2}} =-\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,i^{n}\,z^{n},\qquad |z|<1.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{(1+z)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(-1)^{n}z^{n},\;|z|<1.
(b) \displaystyle \frac{1}{(z+i)^{2}} =-\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,i^{n}\,z^{n},\;|z|<1.

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