9.16
a) Para
, encontre a série de Taylor de
em torno de
.
b) Utilizando o resultado de (a), encontre a série de Laurent de
b) Utilizando o resultado de (a), encontre a série de Laurent de
Passo 1
O enunciado pede duas expansões em torno de
. Primeiro, em (a) queremos a série de Taylor de
válida para
. Em (b), usando o resultado de (a), queremos a série (de Laurent) de
também centrada em
.
Passo 2
Para achar a série de Taylor de
usamos que
Derivando ambos os lados em relação a
e lembrando que
temos
Multiplicando por
e reindexando (tomando
) resulta
Passo 3
Portanto a série de Taylor para
é
Passo 4
Agora em (b) definimos
Basta usar a série de (a) com
substituído por
:
Passo 5
Da fórmula de (a) segue
e assim
Observando que
, podemos escrever de modo mais simples
Resposta
(a)
(b)
(b)