9.19 Obtenha a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{[z-(2+2 i)][z-(5+2 i)]}
em torno de z_{0}=2 \mathrm{i} no anel 2<|z-2 \mathrm{i}|<5.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{\bigl[z-(2+2\mathrm{i})\bigr]\bigl[z-(5+2\mathrm{i})\bigr]}
em torno de z_{0}=2\mathrm{i} no anel 2<|z-2\mathrm{i}|<5.
O conteúdo principal aqui é mudança de variável para centralizar em z_{0}, frações parciais e expansão de séries geométricas válida no anel dado.

Passo 2

Definimos a nova variável
w = z - 2\mathrm{i}.
Então
z-(2+2\mathrm{i}) = w - 2, \quad z-(5+2\mathrm{i}) = w - 5,
e a função fica
f(z)=\frac{1}{(w-2)(w-5)}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em w:
\frac{1}{(w-2)(w-5)} = \frac{A}{w-2} + \frac{B}{w-5}.
Resolver A(w-5)+B(w-2)=1
A+B=0, \quad -5A-2B=1 \;\;\Longrightarrow\;\; A=-\tfrac{1}{3},\;B=\tfrac{1}{3}.
Logo
f(z)=\frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{w-5}-\frac{1}{w-2}\Bigr).

Passo 4

Precisamos de duas expansões geométricas, válidas no anel 2<|w|<5:
  1. Para \displaystyle\frac{1}{w-5} usamos |w|<5:
    \frac{1}{w-5} = -\frac{1}{5}\,\frac{1}{1-\tfrac{w}{5}} = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{5^{\,n+1}}.
  2. Para \displaystyle\frac{1}{w-2} usamos |w|>2:
    \frac{1}{w-2} = \frac{1}{w}\,\frac{1}{1-\tfrac{2}{w}} = \sum_{n=0}^{\infty}2^{n}\,w^{-n-1}.

Passo 5

Substituindo essas séries em
\displaystyle f(z)=\tfrac{1}{3}\bigl(\tfrac{1}{w-5}-\tfrac{1}{w-2}\bigr) obtemos
f(z) = \frac{1}{3}\Bigl(-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{5^{\,n+1}} -\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}\,w^{-n-1}\Bigr) = -\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{5^{\,n+1}} -\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}\,w^{-n-1}.
Voltando a w=z-2\mathrm{i}, essa é a série de Laurent desejada no anel 2<|z-2\mathrm{i}|<5.

Resposta

f(z) =-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-2\mathrm{i})^{n}}{5^{\,n+1}} \;-\;\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}2^{\,n-1}\,(z-2\mathrm{i})^{-n}, \quad 2<\bigl|z-2\mathrm{i}\bigr|<5.

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