9.19 Obtenha a série de Laurent de
em torno de
no anel
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Laurent de
em torno de
no anel
.
O conteúdo principal aqui é mudança de variável para centralizar em , frações parciais e expansão de séries geométricas válida no anel dado.
O conteúdo principal aqui é mudança de variável para centralizar em
Passo 2
Definimos a nova variável
Então
e a função fica
Passo 3
Fazemos frações parciais em
:
Resolver
dá
Logo
Passo 4
Precisamos de duas expansões geométricas, válidas no anel
:
-
Para
usamos : -
Para
usamos :
Passo 5
Substituindo essas séries em
obtemos
Voltando a
, essa é a série de Laurent desejada no anel
.