9.12 A função
possui uma série de Taylor, que pode ser obtida derivando-se sucessivamente o lado direito acima. Nesta questão, isso é proibido. Em vez disto, obtenha a série de Taylor de
integrando termo a termo:
(Note também que o procedimento alternativo é mais rápido e mais fácil do que derivar sucessivamente
.)
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor (em torno de
) de
sem derivar a expressão fechada
. Vamos usar a série de Maclaurin de
e integrar termo a termo.
Passo 2
A série de Maclaurin de
é
Passo 3
Integramos termo a termo:
Como
, segue
Passo 4
Para determinar a constante
, note que
. No lado da série, em
todo termo some, logo
. Assim