9.12 A função
F(x)=\int \operatorname{arctg}(x) \mathrm{d} x=x \operatorname{arctg}(x)-\frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{2}
possui uma série de Taylor, que pode ser obtida derivando-se sucessivamente o lado direito acima. Nesta questão, isso é proibido. Em vez disto, obtenha a série de Taylor de F(x) integrando termo a termo:
\operatorname{arctg}(x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\frac{x^{9}}{9}-\ldots
(Note também que o procedimento alternativo é mais rápido e mais fácil do que derivar sucessivamente F(x).)

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (em torno de 0) de
F(x)=\int \operatorname{arctg}(x)\,\mathrm{d}x
sem derivar a expressão fechada F(x)=x\operatorname{arctg}(x)-\tfrac12\ln(1+x^2). Vamos usar a série de Maclaurin de \operatorname{arctg}(x) e integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Maclaurin de \operatorname{arctg}(x) é
\operatorname{arctg}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \quad\text{para }|x|\le1.

Passo 3

Integramos termo a termo:
F(x)=\int\operatorname{arctg}(x)\,\mathrm{d}x = \int\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\,\mathrm{d}x =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}\int x^{2n+1}\,\mathrm{d}x.
Como \displaystyle\int x^{2n+1}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{2n+2}}{2n+2}, segue
F(x)=C+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}.

Passo 4

Para determinar a constante C, note que F(0)=\int_0^0\operatorname{arctg}(x)\,\mathrm{d}x=0. No lado da série, em x=0 todo termo some, logo C=0. Assim
F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}.

Resposta

F(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)} =\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+\frac{x^6}{30}-\frac{x^8}{56}+\cdots

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