[17 pts] Considere g(x, y, z)=x e^{y z}+x y e^{z}, \quad P_{0}(-2,1,1), \quad \mathbf{v}=\hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}.
(a) Determine o gradiente de g. Avalie o gradiente no ponto P_{0}.
(b) Determine a derivada direcional da função no ponto P_{0} dado na direção do vetor \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o gradiente de g e avaliar esse gradiente no ponto P_{0}(-2,1,1).
  2. (b) Determinar a derivada direcional de g em P_{0} na direção do vetor \mathbf{v}=\hat{\mathbf{i}}-2\hat{\mathbf{j}}+3\hat{\mathbf{k}}.
Informações dadas:
g(x,y,z)=x e^{y z}+x y e^{z},
P_{0}=(-2,1,1), \qquad \mathbf{v}=\langle 1,-2,3\rangle.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (aula rápida e prática)?
  • O gradiente de uma função g(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais: \nabla g=\left\langle \dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{\partial g}{\partial y},\dfrac{\partial g}{\partial z}\right\rangle.
  • Cada derivada parcial significa: diferenciar g em relação a uma variável mantendo as outras fixas.
  • Para derivar expressões do tipo e^{u(x,y,z)} usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u} e então multiplicamos por u'.

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial g}{\partial x}.
Partimos de g(x,y,z)=x e^{y z}+x y e^{z}. Derivando em relação a x (tratando y,z como constantes):
\frac{\partial g}{\partial x} = e^{y z} + y e^{z}.
Explicação: a derivada de x e^{y z} em relação a x é e^{y z} (porque e^{y z} é constante em x); a derivada de x y e^{z} é y e^{z}.

Passo 4

Calculemos \dfrac{\partial g}{\partial y}.
Derivando g em relação a y:
  • Para x e^{y z}, aplicamos regra da cadeia com u(y)=y z: \dfrac{\partial}{\partial y} e^{y z}=e^{y z}\cdot z. Multiplicando por x x z e^{y z}.
  • Para x y e^{z}, e^{z} é constante e a derivada de x y em relação a y é x. Logo resulta x e^{z}.
    Somando:
\frac{\partial g}{\partial y}=x z e^{y z} + x e^{z}.

Passo 5

Calculemos \dfrac{\partial g}{\partial z}.
Derivando g em relação a z:
  • Para x e^{y z}, por cadeia com u(z)=y z: \dfrac{\partial}{\partial z} e^{y z}=e^{y z}\cdot y. Multiplicando por x x y e^{y z}.
  • Para x y e^{z}, derivada em z é x y e^{z} (a constante x y multiplicando e^{z}).
    Somando:
\frac{\partial g}{\partial z}=x y e^{y z} + x y e^{z}=x y\bigl(e^{y z}+e^{z}\bigr).

Passo 6

Agora escrevemos o gradiente completo:
\nabla g(x,y,z)=\left\langle e^{y z}+y e^{z},\; x z e^{y z}+x e^{z},\; x y\bigl(e^{y z}+e^{z}\bigr)\right\rangle.
Comentário prático: cada componente é uma função de x,y,z; isso é útil porque, na prova, você deriva cada termo separadamente e aplica regra da cadeia quando aparece e^{(\cdot)}.

Passo 7

Avalie \nabla g em P_{0}=(-2,1,1). Primeiro calcule as exponenciais necessárias: com y=1 e z=1 temos e^{y z}=e^{1}=e e e^{z}=e. Substituindo:
  • Primeira componente:
\frac{\partial g}{\partial x}(P_{0})=e^{1}+1\cdot e^{1}=e+e=2e.
  • Segunda componente:
\frac{\partial g}{\partial y}(P_{0})=x z e^{y z}+x e^{z}=(-2)\cdot 1\cdot e +(-2)\cdot e=-2e-2e=-4e.
  • Terceira componente:
\frac{\partial g}{\partial z}(P_{0})=x y\bigl(e^{y z}+e^{z}\bigr)=(-2)\cdot 1\cdot( e+ e)=-2\cdot 2e=-4e.
Logo
\nabla g(P_{0})=\langle 2e,\,-4e,\,-4e\rangle.

Passo 8

Agora a derivada direcional (aula rápida e prática):
  • A derivada direcional de g em P_{0} na direção do vetor \mathbf{v} é \nabla g(P_{0})\cdot \mathbf{u}, onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.
  • Para obter \mathbf{u} normalizamos \mathbf{v}: \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.
  • Produto escalar entre vetores \langle a,b,c\rangle\cdot\langle u,v,w\rangle = a u + b v + c w.

Passo 9

Compute o vetor unitário \mathbf{u}.
Norma de \mathbf{v}=\langle 1,-2,3\rangle:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Logo
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{14}}\langle 1,-2,3\rangle=\left\langle \frac{1}{\sqrt{14}},-\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right\rangle.

Passo 10

Calcule a derivada direcional como produto escalar:
D_{\mathbf{u}}g(P_{0})=\nabla g(P_{0})\cdot \mathbf{u} =\langle 2e,-4e,-4e\rangle\cdot\left\langle \frac{1}{\sqrt{14}},-\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right\rangle.
Efetuando o produto escalar (fator comum e/\sqrt{14}):
D_{\mathbf{u}}g(P_{0})=\frac{e}{\sqrt{14}}\bigl(2 + 8 -12\bigr) =\frac{e}{\sqrt{14}}\cdot(-2)=-\frac{2e}{\sqrt{14}}.
Podemos simplificar -\dfrac{2}{\sqrt{14}}=-\dfrac{\sqrt{14}}{7}, então uma forma alternativa é
D_{\mathbf{u}}g(P_{0})=-\frac{e\sqrt{14}}{7}.

Resposta

\nabla g(x,y,z)=\left\langle e^{y z}+y e^{z},\; x z e^{y z}+x e^{z},\; x y\bigl(e^{y z}+e^{z}\bigr)\right\rangle
\nabla g(P_{0})=\langle 2e,\,-4e,\,-4e\rangle
D_{\mathbf{u}}g(P_{0})=-\dfrac{2e}{\sqrt{14}} \;=\; -\dfrac{e\sqrt{14}}{7}

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