[17 pts] Considere
.
(a) Determine o gradiente de
. Avalie o gradiente no ponto
.
(b) Determine a derivada direcional da função no ponto
dado na direção do vetor
.
(a) Determine o gradiente de
(b) Determine a derivada direcional da função no ponto
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o gradiente de
e avaliar esse gradiente no ponto . - (b) Determinar a derivada direcional de
em na direção do vetor .
Informações dadas:
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (aula rápida e prática)?
- O gradiente de uma função
é o vetor das derivadas parciais: . - Cada derivada parcial significa: diferenciar
em relação a uma variável mantendo as outras fixas. - Para derivar expressões do tipo
usamos a regra da cadeia: e então multiplicamos por .
Passo 3
Calculemos
.
Partimos de . Derivando em relação a
(tratando
como constantes):
Partimos de
Explicação: a derivada de
em relação a
é
(porque
é constante em
); a derivada de
é
.
Passo 4
Calculemos
.
Derivando em relação a
:
Derivando
- Para
, aplicamos regra da cadeia com : . Multiplicando por dá . - Para
, é constante e a derivada de em relação a é . Logo resulta .
Somando:
Passo 5
Calculemos
.
Derivando em relação a
:
Derivando
- Para
, por cadeia com : . Multiplicando por dá . - Para
, derivada em é (a constante multiplicando ).
Somando:
Passo 6
Agora escrevemos o gradiente completo:
Comentário prático: cada componente é uma função de
; isso é útil porque, na prova, você deriva cada termo separadamente e aplica regra da cadeia quando aparece
.
Passo 7
Avalie
em
. Primeiro calcule as exponenciais necessárias: com
e
temos
e
. Substituindo:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Logo
Passo 8
Agora a derivada direcional (aula rápida e prática):
- A derivada direcional de
em na direção do vetor é , onde é o vetor unitário na direção de . - Para obter
normalizamos : . - Produto escalar entre vetores
.
Passo 9
Compute o vetor unitário
.
Norma de :
Norma de
Logo
Passo 10
Calcule a derivada direcional como produto escalar:
Efetuando o produto escalar (fator comum
):
Podemos simplificar
, então uma forma alternativa é