Questão 4. ( 2 pontos) Obtenha a solução geral da EDO y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=100 e^{2 x}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
y^{(4)} + 2y'' + y = 100 e^{2x}.
Informações dadas: é uma EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes e termo não-homogêneo 100 e^{2x}. A tarefa é encontrar a solução geral, que será a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada, obtida zerando o lado direito:
y^{(4)} + 2y'' + y = 0.
Usamos o método padrão: supor uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo, as derivadas geram fatores de r e obtemos o polinômio característico
r^{4} + 2r^{2} + 1 = 0.
Esse polinômio pode ser visto como um quadrado notável:
r^{4} + 2r^{2} + 1 = (r^{2}+1)^{2}.

Passo 3

Da fatoração (r^{2}+1)^{2}=0 tiramos r^{2} = -1, ou seja r = i e r = -i. Como o fator está ao quadrado, cada um desses autovalores complexos tem multiplicidade 2. Vou explicar como transformar isso em soluções reais:
  • Para uma raiz complexa simples \alpha \pm i\beta a solução real básica é e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x).
  • Se a raiz complexa tem multiplicidade m>1, multiplicamos essas soluções por potências de x até x^{m-1}.
Aqui temos \alpha=0, \beta=1 e multiplicidade m=2. Portanto as soluções independentes reais são
\cos x,\quad \sin x,\quad x\cos x,\quad x\sin x.
Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + C_{3}\,x\cos x + C_{4}\,x\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. O método das coeficientes a determinar sugere tentar uma forma semelhante ao termo do lado direito. Como o termo é 100 e^{2x}, tentamos um ansatz
y_{p}(x)=A e^{2x},
onde A é constante a determinar. Antes de usar, verificamos se r=2 é raiz do polinômio característico: os autovalores foram \pm i, logo r=2 não é raiz; portanto a forma A e^{2x} é apropriada (não precisamos multiplicar por x).

Passo 5

Calculamos as derivadas de y_{p} e substituímos na equação para achar A.
Derivadas:
y_{p}=A e^{2x},\qquad y_{p}'=2A e^{2x},\qquad y_{p}''=4A e^{2x},
y_{p}^{(3)}=8A e^{2x},\qquad y_{p}^{(4)}=16A e^{2x}.
Substituindo em y^{(4)}+2y''+y:
y_{p}^{(4)} + 2y_{p}'' + y_{p} = (16A + 2\cdot 4A + A)\,e^{2x} = (16A + 8A + A)\,e^{2x} = 25A\,e^{2x}.
Queremos que isso seja igual a 100 e^{2x}. Então
25A\,e^{2x} = 100\,e^{2x} \implies 25A = 100 \implies A = 4.
Portanto
y_{p}(x)=4 e^{2x}.

Passo 6

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea y_{h} e da particular y_{p}. Em outras palavras, juntamos as partes que encontramos anteriormente para obter a solução completa.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + C_{3}\,x\cos x + C_{4}\,x\sin x + 4e^{2x}

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