Questão 4. ( 2 pontos) Obtenha a solução geral da EDO
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
Informações dadas: é uma EDO linear de ordem
com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. A tarefa é encontrar a solução geral, que será a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada, obtida zerando o lado direito:
Usamos o método padrão: supor uma solução do tipo
. Substituindo, as derivadas geram fatores de
e obtemos o polinômio característico
Esse polinômio pode ser visto como um quadrado notável:
Passo 3
Da fatoração
tiramos
, ou seja
e
. Como o fator está ao quadrado, cada um desses autovalores complexos tem multiplicidade
. Vou explicar como transformar isso em soluções reais:
- Para uma raiz complexa simples
a solução real básica é e . - Se a raiz complexa tem multiplicidade
, multiplicamos essas soluções por potências de até .
Aqui temos
,
e multiplicidade
. Portanto as soluções independentes reais são
Assim a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. O método das coeficientes a determinar sugere tentar uma forma semelhante ao termo do lado direito. Como o termo é
, tentamos um ansatz
onde
é constante a determinar. Antes de usar, verificamos se
é raiz do polinômio característico: os autovalores foram
, logo
não é raiz; portanto a forma
é apropriada (não precisamos multiplicar por
).
Passo 5
Calculamos as derivadas de
e substituímos na equação para achar
.
Derivadas:
Substituindo em
:
Queremos que isso seja igual a
. Então
Portanto
Passo 6
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea
e da particular
. Em outras palavras, juntamos as partes que encontramos anteriormente para obter a solução completa.