Questão 5. (1.5 ponto) Obtenha a função que tem
como transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para obter a função no domínio do tempo cuja transformada é essa. Informações relevantes fornecidas:
.
A pergunta é: qual é tal que
?
A pergunta é: qual é
Passo 2
Vamos recordar uma fórmula básica muito útil: a transformada de Laplace da exponencial. A definição da transformada é
Se tomarmos
com
constante, então
Essa integral converge para
e vale
Portanto temos a regra fundamental (útil para inversão):
Aqui
é o parâmetro que aparece na exponencial (por exemplo, se
então a transformada de
é
).
Passo 3
Outra propriedade essencial é o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento ou shifting): se
tem transformada
, então para a função retardada multiplicada pela função degrau de Heaviside
vale
Uma demonstração curta: escrevendo a integral da transformada,
Fazendo a mudança de variável
obtemos
Essa propriedade nos diz exatamente como interpretar um fator
multiplicando uma transformada: ele corresponde a um atraso de
segundos no tempo, multiplicado pelo degrau
.
Passo 4
Voltemos ao nosso
. Primeiro fatoramos o denominador:
Então podemos escrever, separando o fator exponencial,
Vamos obter a fração parcial de
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora determinamos
e
por valores convenientes de
. Para
:
Para
:
Logo
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa à parte racional (sem o fator exponencial). Pelas fórmulas do Passo 2:
Chamo essa função de
:
Observação: a igualdade acima é válida para
(domínio usual da transformada de Laplace).
Passo 6
Finalmente, aplicamos o teorema do deslocamento do Passo 3 ao fator
. Como
a transformada inversa é
Substituindo
obtemos
Podemos deixar em forma factorizada mais clara: