Questão 5. (1.5 ponto) Obtenha a função que tem Y(s)=\frac{e^{-3 s}}{s^{2}+s-2} como transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
Y(s)=\frac{e^{-3s}}{s^{2}+s-2}
e pede para obter a função no domínio do tempo cuja transformada é essa. Informações relevantes fornecidas:
\;Y(s)=\dfrac{e^{-3s}}{s^{2}+s-2}.
A pergunta é: qual é y(t) tal que \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)?

Passo 2

Vamos recordar uma fórmula básica muito útil: a transformada de Laplace da exponencial. A definição da transformada é
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Se tomarmos f(t)=e^{at} com a constante, então
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt.
Essa integral converge para s>\Re(a) e vale
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-a}.
Portanto temos a regra fundamental (útil para inversão):
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Aqui a é o parâmetro que aparece na exponencial (por exemplo, se a=1 então a transformada de e^{t} é \tfrac{1}{s-1}).

Passo 3

Outra propriedade essencial é o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento ou shifting): se g(t) tem transformada G(s), então para a função retardada multiplicada pela função degrau de Heaviside u(t-a) vale
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-as}G(s).
Uma demonstração curta: escrevendo a integral da transformada,
\mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}u(t-a)g(t-a)\,dt=\int_{a}^{\infty}e^{-st}g(t-a)\,dt.
Fazendo a mudança de variável \tau=t-a obtemos
\int_{0}^{\infty}e^{-s(\tau+a)}g(\tau)\,d\tau=e^{-as}\int_{0}^{\infty}e^{-s\tau}g(\tau)\,d\tau=e^{-as}G(s).
Essa propriedade nos diz exatamente como interpretar um fator e^{-as} multiplicando uma transformada: ele corresponde a um atraso de a segundos no tempo, multiplicado pelo degrau u(t-a).

Passo 4

Voltemos ao nosso Y(s). Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}+s-2=(s-1)(s+2).
Então podemos escrever, separando o fator exponencial,
Y(s)=e^{-3s}\cdot\frac{1}{(s-1)(s+2)}.
Vamos obter a fração parcial de
\frac{1}{(s-1)(s+2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+2) obtemos
1=A(s+2)+B(s-1).
Agora determinamos A e B por valores convenientes de s. Para s=1:
1=A(1+2)=3A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{3}.
Para s=-2:
1=B(-2-1)=-3B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{3}.
Logo
\frac{1}{(s-1)(s+2)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa à parte racional (sem o fator exponencial). Pelas fórmulas do Passo 2:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}\right\} =\frac{1}{3}e^{t}-\frac{1}{3}e^{-2t}.
Chamo essa função de g(t):
g(t)=\frac{1}{3}e^{t}-\frac{1}{3}e^{-2t},\qquad t\ge 0.
Observação: a igualdade acima é válida para t\ge 0 (domínio usual da transformada de Laplace).

Passo 6

Finalmente, aplicamos o teorema do deslocamento do Passo 3 ao fator e^{-3s}. Como
Y(s)=e^{-3s}\cdot G(s)\quad\text{com}\quad G(s)=\frac{1}{(s-1)(s+2)},
a transformada inversa é
y(t)=u(t-3)\,g(t-3).
Substituindo g obtemos
y(t)=u(t-3)\left(\frac{1}{3}e^{\,t-3}-\frac{1}{3}e^{-2(t-3)}\right).
Podemos deixar em forma factorizada mais clara:
y(t)=\frac{1}{3}\,u(t-3)\bigl(e^{\,t-3}-e^{-2(t-3)}\bigr).

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}\,u(t-3)\bigl(e^{\,t-3}-e^{-2(t-3)}\bigr).

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