[17 pts] Determine \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y^{2}+x y^{3}-2 y x^{3}}{\left(2 x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

O enunciado pede determinar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^{2}y^{2}+xy^{3}-2yx^{3}}{(2x^{2}+y^{2})^{2}}
ou mostrar que ele não existe. Este problema exige analisar o comportamento da função ao longo de diferentes trajetórias que se aproximam de (0,0).

Passo 2

Vamos aproximar (x,y)\to(0,0) pela reta y=kx, com k constante. Substituindo y=kx em cada parte:
\text{numerador} =3x^{2}(kx)^{2}+x\,(kx)^{3}-2\,(kx)\,x^{3} =x^{4}\bigl(3k^{2}+k^{3}-2k\bigr),
\text{denominador} =(2x^{2}+(kx)^{2})^{2} =\bigl(x^{2}(2+k^{2})\bigr)^{2} =x^{4}(2+k^{2})^{2}.
Logo o quociente vale
\frac{3x^{2}y^{2}+xy^{3}-2yx^{3}}{(2x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{3k^{2}+k^{3}-2k}{(2+k^{2})^{2}},
que é independente de x mas depende de k.

Passo 3

Como o valor encontrado varia com k, o limite depende da reta de aproximação. Por exemplo:
- Para k=0 (eixox) obtemos
\frac{3\cdot0^{2}+0^{3}-2\cdot0}{(2+0^{2})^{2}} =0.
- Para k=1 (retay=x) obtemos
\frac{3\cdot1^{2}+1^{3}-2\cdot1}{(2+1^{2})^{2}} =\frac{3+1-2}{9} =\frac{2}{9}\neq0.
Como os valores são diferentes, não há um único limite.

Resposta

O limite não existe.

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