[17 pts] Considere g(x, y, z)=x e^{y z}+x y e^{z}, \quad P_{0}(-2,1,1), \quad \mathbf{v}=\hat{\mathbf{1}}-2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}.
(a) Determine o gradiente de g. Avalie o gradiente no ponto P_{0}.
(b) Determine a derivada direcional da função no ponto P_{0} dado na direção do vetor \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y,z)=x\,e^{yz}+x\,y\,e^{z},
o ponto P_{0}=(-2,1,1) e o vetor \mathbf{v}=(1,-2,3).
O objetivo é (a) encontrar o gradiente \nabla g e avaliá-lo em P_{0}, e (b) calcular a derivada direcional de g em P_{0} na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

Vamos obter as derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x} = e^{yz} + y\,e^{z},\quad \frac{\partial g}{\partial y} = x\,z\,e^{yz} + x\,e^{z},\quad \frac{\partial g}{\partial z} = x\,y\,e^{yz} + x\,y\,e^{z}.
Logo,
\nabla g(x,y,z) =\bigl(e^{yz}+y\,e^{z},\;x\,z\,e^{yz}+x\,e^{z},\;x\,y\,e^{yz}+x\,y\,e^{z}\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em P_{0}=(-2,1,1). Como e^{1\cdot1}=e e e^{1}=e, temos
\frac{\partial g}{\partial x}(P_{0}) = e + e = 2e, \quad \frac{\partial g}{\partial y}(P_{0}) = (-2)\cdot1\cdot e + (-2)\,e = -2e -2e = -4e, \quad \frac{\partial g}{\partial z}(P_{0}) = (-2)\cdot1\cdot e + (-2)\cdot1\cdot e = -4e.
Portanto
\nabla g(P_{0}) = (2e,\,-4e,\,-4e).

Passo 4

Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}=(1,-2,3). Primeiro a norma:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}} = \sqrt{14}.
Então
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,\tfrac{-2}{\sqrt{14}},\,\tfrac{3}{\sqrt{14}}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional de g em P_{0} na direção de \mathbf{v} é
D_{\mathbf{u}}g(P_{0}) = \nabla g(P_{0})\cdot \mathbf{u} = (2e,\,-4e,\,-4e)\cdot \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,\tfrac{-2}{\sqrt{14}},\,\tfrac{3}{\sqrt{14}}\Bigr) = \frac{2e +8e -12e}{\sqrt{14}} = -\frac{2e}{\sqrt{14}}.

Resposta

(a) \nabla g(P_{0}) = (2e,\,-4e,\,-4e).
(b) \displaystyle D_{\mathbf{v}}g(P_{0}) = -\frac{2e}{\sqrt{14}}.

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