[17 pts] Considere
.
(a) Determine o gradiente de
. Avalie o gradiente no ponto
.
(b) Determine a derivada direcional da função no ponto
dado na direção do vetor
.
(a) Determine o gradiente de
(b) Determine a derivada direcional da função no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
o ponto
e o vetor
.
O objetivo é (a) encontrar o gradiente e avaliá-lo em
, e (b) calcular a derivada direcional de
em
na direção de
.
O objetivo é (a) encontrar o gradiente
Passo 2
Vamos obter as derivadas parciais de
:
Logo,
Passo 3
Agora avaliamos em
. Como
e
, temos
Portanto
Passo 4
Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário
na direção de
. Primeiro a norma:
Então
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção de
é
Resposta
(a)
(b)
(b)